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Una segunda presentación

Sea $q$ una potencia de un primo $p$, $n\in\mathbb{N}$ un entero que no es múltiplo de $p$, $k\leq n-2$ y $\rho$ una raíz $n$-ésima de la unidad en $\mathbb{F}_{q}$. Sean $R=\left(\rho^j\right)_{j=\ell}^{\ell + n - k - 1}$ una colección de $n-k$ raíces $n$-ésimas consecutivas de la unidad y $g_{\ell,n,k}(X) = \mbox{mcm}\left(\left(p_{\rho^j}(X)\right)_{\rho^j\in R}\right)$ el mínimo común múltiplo de los polinomios mínimos, respecto a $\mathbb{F}_{q}$, de los elementos en $R$. El código cíclico generado por $g_{\ell,n,k}(X)$ se dice ser el código BCH generado por $R$.

Los códigos BCH de longitud $n=q-1$ son precisamente los códigos de Reed-Solomon (en este caso, los polinomios mínimos son $(X-\rho^i)$, $i\leq n$).

Ejemplo 8.5   Constrúyase un código BCH que corrija errores dobles.

Como se quiere corregir hasta 2 errores la distancia mínima debe ser 5. Se opta por un código de Reed-Solomon. Por tanto $q-k=5$. Tómese $q=7$ y $k=2$. Entonces $n=q-1=6$ y $n-k=4$. En $\mathbb{F}_7$ un elemento primitivo es $\rho=3$. Así, sea $R = \left(\rho^j\right)_{j=1}^{1 + n - k - 1} = \{3,3^2,3^3,3^4\} = \{3,2,6,4\}.$ El generador es pues

$$g_{1,6,2}(X) = (X-3) (X-2) (X-6) (X-4) = 4 + 2 X + 3 X^2+ 6 X^3+ X^4.$$

La matriz generatriz es

$$G=\left[\begin{array}{cccccc} 4 & 2 & 3 & 6 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 3 & 6 & 1 %\\ \end{array}\right]$$

y el polinomio revisor de paridad es

$$h(X) = \frac{X^6-1}{g_{1,6,2}(X)} = 5 + X + X^2$$

lo que define la matriz de paridad

$$H=\left[\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1... ...1 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 5 %\\ \end{array}\right]$$

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