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Códigos BCH

Los códigos de Bose, Chaudhuri y Hocquenghem (BCH), se construyen a partir de los de Reed-Solomon pero se les restringe a estar en subcampos del campo $\mathbb{F}_q$ original.

Recordamos que un subcampo $\mathbb{K}_0$ de un campo $\mathbb{K}_1$ es un subconjunto $\mathbb{K}_0\subset\mathbb{K}_1$ tal que $0,1\in\mathbb{K}_0$ y $\mathbb{K}_0$ es cerrado bajo las operaciones de adición, multiplicación e inversos aditivos y multiplicativos. En tal caso, con las operaciones de $\mathbb{K}_1$, $\mathbb{K}_0$ es un campo.

Si $x\in\mathbb{K}_1$, el polinomio $p_x(X)\in\mathbb{K}_0[X]$, con coeficientes en el subcampo $\mathbb{K}_0$, de grado mínimo tal que $p_x(x)=0$ se dice ser el polinomio mínimo de $x$ respecto a $\mathbb{K}_0$. Se tiene que $p_x(X)$ es irreducible sobre $\mathbb{K}_0$ y divide a cualquier polinomio en $\mathbb{K}_0[X]$ que tenga a $x$ como raíz.

Un campo finito $\mathbb{F}_{q_1}$ sólo es tal si $q_1=p^{n_1}$ es una potencia de un primo $p$, el cual es la característica de $\mathbb{F}_{q_1}$: $px=0$ para cada $x\in\mathbb{F}_{q_1}$. Ahora, si $\mathbb{F}_{q_0}$ es un subcampo de $\mathbb{F}_{q_1}$ entonces $q_0=p^{n_0}$ con $n_0\leq n_1$, pero aún más: el grupo multiplicativo $\mathbb{F}_{q_0}^*$ debe ser un subgrupo de $\mathbb{F}_{q_1}^*$, por tanto $(p^{n_0}-1)\vert(p^{n_1}-1)$ lo cual implica $n_0\vert n_1$. En resumen: $\mathbb{F}_{q_0}$ es un subcampo de $\mathbb{F}_{q_1}$ si y sólo si $q_0=p^{n_0}$, $q_1=p^{n_1}$ y $n_0\vert n_1$.

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