Producto de variedades afines

Sean $A_0\subset\mathbb{K}^{n_0}$ y $A_1\subset\mathbb{K}^{n_1}$ dos variedades afines en sendos espacios. Ya que $\mathbb{K}^{n_0} \approx$Spec$(\mathbb{K}[{\bf X}_{n_0}])$ y $\mathbb{K}^{n_1} \approx$Spec$(\mathbb{K}[{\bf X}_{n_1}])$ , donde ${\bf X}_{n_0}=\left(X_{0j}\right)_{j=0}^{n_0-1}$ y ${\bf X}_{n_1}=\left(X_{1j}\right)_{j=0}^{n_1-1}$ son conjuntos de $n_0$ y $n_1$ indeterminadas, se tiene ${\cal I}(A_0)=\left\langle \left(P_{0i}({\bf X}_{n_0})\right)_{i=0}^{m_0-1}\right\rangle$ e ${\cal I}(A_1)=\left\langle \left(P_{1i}({\bf X}_{n_1})\right)_{i=0}^{m_1-1}\right\rangle$ son ideales finitamente generados. Por tanto el producto cartesiano $A_0\times A_1 = {\cal Z}\left( \left(P_{0i}({\bf X}_{n_0})\right)_{i=0}^{m_0-1... ...ft(P_{1i}({\bf X}_{n_1})\right)_{i=0}^{m_1-1}\right)\subset\mathbb{K}^{n_0+n_1}$ es una variedad.

Alternativamente, el producto $A_0\times A_1$ puede caracterizarse mediante la siguiente Propiedad Universal del Producto de Variedades:

Si $\phi_0:W\to A_0$ y $\phi_1:W\to A_1$ son funciones polinomiales entre variedades entonces existe una única función $\nu:W\to A_0\times A_1$ que hace conmutativo el diagrama

$$\xymatrix{ W \ar@/^/[rrd]^{\phi_0} \ar@/_/[rdd]_{\phi_1} \ar@{.{>... ...t-{\nu} & & \ & A_0\times A_1 \ar[r]_{\pi_0} \ar[d]^{\pi_1} & A_0 \ & A_1 & }$$ (10)

De forma correspondiente, se tiene la siguiente Propiedad Universal de Anillos de Coordenadas del Producto de Variedades:

Si $\phi_0^{\star}:\mathbb{K}[A_0]\to \mathbb{K}[W]$ y $\phi_1^{\star}:\mathbb{K}[A_1]\to \mathbb{K}[W]$ son homomorfismos de $\mathbb{K}$ -álgebras entonces existe un único homomorfismo de $\mathbb{K}$ -álgebras $\nu^{\star}:\mathbb{K}[A_0\times A_1]\to \mathbb{K}[W]$ que hace conmutativo el diagrama

$$\xymatrix{ & \mathbb{K}[A_1] \ar@/^/[rdd]^{\phi_1^{\star}} \ar[d]... ...bb{K}[A_0\times A_1] \ar@{.{>}}[rd]\vert-{\nu^{\star}} & \ & & \mathbb{K}[W] }$$ (11)

Atendiendo a los conceptos vistos en la sección 1.2.2, resulta la siguiente:

Proposición 2.8   $\mathbb{K}[A_0]\otimes_{\mathbb{K}}\mathbb{K}[A_1] = \mathbb{K}[A_0\times A_1]$ .