Variedades algebraicas proyectivas

Sea $R$ un anillo. Una graduación en $R$ es una descomposición $R=\bigoplus_{d\geq 0}R_d$ como una suma directa de subgrupos abelianos (aditivos) tal que $\forall d,e\in\mathbb{N}$ , $R_d\cdot R_e \subseteq R_{d+e}$ . Los elementos de cada grado $R_d$ se dicen ser homogéneos de grado $d$ . En consecuencia, todo elemento en $R$ se expresa como una suma de elementos homogéneos. Un ideal $I<R$ es homogéneo si $I=\bigoplus_{d\geq 0}(I\cap R_d)$ . Así pues, un ideal es homogéneo si y sólo si está generado por elementos homogéneos. La suma, el producto, la intersección y el radical de ideales homogéneos son homogéneos. Más aún, un ideal homogéneo es primo cuando y sólo cuando para cualesquiera dos elementos $x,y\in I$ homogéneos rige la implicación: $[xy\in I \Longrightarrow x\in I\lor y\in I]$ .

Sea $\mathbb{K}$ un campo, sea $\mathbb{P}^n$ el cociente de $\mathbb{K}^{n+1}$ partido por la relación de equivalencia: $[{\bf a}\sim{\bf b} \Longleftrightarrow \exists t\in\mathbb{K}^*: {\bf b}=t{\bf a}]$ . $\mathbb{P}^n$ es el espacio proyectivo.

Si ${\bf X}$ es un conjunto de $(n+1)$ indeterminadas, $\mathbb{K}[{\bf X}]$ es un anillo graduado, tomando $\mathbb{K}[{\bf X}]_d$ como el conjunto de todas las combinaciones lineales de monomios de peso $d$ , para cada $d\in\mathbb{N}$ .

Si $P({\bf X})\in\mathbb{K}[{\bf X}]_d$ es un polinomio homogéneo, entonces puede ser visto naturalmente como una transformación $\mathbb{P}^n\to\mathbb{K}$ y su conjunto proyectivo de ceros es $Z(P({\bf X})) = \{[{\bf x}]\in\mathbb{P}^n\vert P({\bf x}) = 0\}$ .

Las nociones vistas para variedades algebraicas se trasladan al espacio proyectivo, considerando polinomios homogéneos. Por ejemplo, si ${\cal P}\subset\mathbb{K}[{\bf X}]$ es una colección de polinomios homogéneos se define $Z({\cal P}) = \bigcap\{Z(P({\bf X}))\vert P({\bf X})\in{\cal P}\}$ . Como $\mathbb{K}[{\bf X}]$ es noetheriano, existe un conjunto finito de polinomios $\left\{P_j({\bf X})\right\}_{j=0}^{k-1}$ tal que $Z({\cal P}) = \bigcap_{j=0}^{k-1}Z(P_j({\bf X}))$ . Los conjuntos algebraicos en $\mathbb{P}^n$ son los ceros de polinomios homogéneos, y la topología de Zariski consiste de los complementos de algebraicos. Las variedades proyectivas son los conjuntos cerrados irreducibles, y las variedades cuasi-proyectivas son los abiertos de variedades proyectivas. Para un conjunto $A\subset\mathbb{P}^n$ su ideal homogéneo ${\cal I}_H(A)$ es el ideal de $\mathbb{K}[{\bf X}]$ generado por los polinomios homogéneos que se anulan en $A$ y el anillo de coordenadas homogéneas es $\mathbb{K}[{\bf X}]/{\cal I}_H(A)$ .

Si $P({\bf X})\in\mathbb{K}[{\bf X}]_1$ es un polinomio lineal homogéneo, su conjunto de ceros $Z({\cal P})$ en $\mathbb{P}^n$ se dice ser un hiperplano proyectivo. Para cada $i\in[\![0,n]\!]$ sea $H_i=Z(X_i)$ y sea $U_i =\mathbb{P}^n-H_i$ su complemento. Entonces $\left(U_i\right)_{i=0}^n$ es un recubrimiento abierto de $\mathbb{P}^n$ . Para cada $i\in[\![0,n]\!]$ sea $\sigma_i:U_i\to\mathbb{K}^n$ , $[{\bf x}]\mapsto\left(\frac{x_j}{x_i}\right)_{j\not=i}$ . Se tiene que, respecto a las topologías de Zariski, $\sigma_i$ es un homeomorfismo.

Proposición 2.12   Si $A\subset\mathbb{P}^n$ es una variedad proyectiva, entonces queda recubierta por los abiertos relativos $A\cap U_i$ los cuales son isomorfos a variedades afines a través de $\sigma_i$ .