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Morfismos entre variedades

Sea $ \mathbb{K}$ un campo y $ V$ una variedad, dotada de la topología de Zariski. Una función $ f:V\to\mathbb{K}$ es regular en un punto $ {\bf x}\in V$ si existe una vecindad abierta $ U\subset V$ de $ {\bf x}$ y polinomios $ P({\bf X}),Q({\bf X})\in\mathbb{K}[{\bf X}]$ tales que $ f\vert _U=\frac{P}{Q}$ (si la variedad es proyectiva, los polinomios $ P({\bf X}),Q({\bf X})$ han de ser homogéneos). La función $ f$ es regular si lo es en todo punto de la variedad.

Sean $ V$ , $ W$ dos variedades. Un morfismo es una función contínua $ \phi:V\to W$ tal que para cualquier función regular $ f:W\to\mathbb{K}$ y cualquier abierto $ U\subset W$ , se tiene que $ f\circ\phi:\phi^{-1}(U)\to\mathbb{K}$ es regular.

Dos variedades $ V$ , $ W$ son isomorfas si existen dos morfismos $ \phi:V\to W$ y $ \psi:W\to V$ tales que $ \psi\circ\phi =$   id$ _V$ y $ \phi\circ\psi =$   id$ _W$ .

La colección de variedades con morfismos conforma la categoría de variedades.

Sea $ \mathbb{K}[V]$ el anillo de coordenadas de la variedad $ V$ y sea $ \mathbb{K}(V)$ su campo de fracciones. Para un punto $ {\bf x}\in V$ sea $ {\cal O}_{V,{\bf x}}$ el anillo de funciones en $ \mathbb{K}(V)$ que están definidas en $ {\bf x}$ , llamado anillo local en $ {\bf x}$ . Para un abierto $ U\subset V$ , sea $ {\cal O}_{V}(U)$ el anillo de funciones en $ \mathbb{K}(V)$ que son regulares en $ U$ .

Si $ \phi:V\to W$ es un morfismo entonces para cada abierto $ U\subset W$ se tiene $ \phi^*:{\cal O}_{W}(U)\to {\cal O}_{V}(\phi^{-1}(U))$ , $ f\mapsto f\circ\phi$ , y también para cada $ {\bf x}\in V$ , $ \phi^*_{{\bf x}}:{\cal O}_{W,\phi({\bf x})}\to {\cal O}_{V,{\bf x}}$ .

Proposición 2.13   Las siguientes asevraciones son verdaderas:


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Guillermo Morales-Luna 2011-10-19