Curvas afines y proyectivas

Seguiremos aquí la exposición en [4].

Sea $\mathbb{K}$ un campo. Una curva algebraica afín es de la forma $Z(P(X_0,X_1))$ , en la cerradura algebraica $\overline{\mathbb{K}}$ de $\mathbb{K}$ , para algún polinomio $P(X_0,X_1)\in\mathbb{K}[X_0,X_1]$ :

$$Z(P(X_0,X_1))=\{(x_0,x_1)\in\overline{\mathbb{K}}\vert P(x_0,x_1)=0\}.$$

Si $\mathbb{K}<\mathbb{K}_1<\overline{\mathbb{K}}$ , todo punto ${\bf x}\in\mathbb{K}_1^2\cap Z(P(X_0,X_1))$ se dice ser un punto $\mathbb{K}_1$ -racional. Una curva algebraica proyectiva es de la forma $Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ para algún polinomio homogéneo $Q(X_0,X_1,X_2)\in\mathbb{K}[X_0,X_1,X_2]$ . De acuerdo con la proposición 2.12, una curva proyectiva, digamos $Q(X_0,X_1,X_2)=0$ determina tres curvas afines, por un proceso de deshomogenización:

$$Q(X_0,X_1,1)=0 , Q(X_0,1,X_2)=0 , Q(1,X_1,X_2)=0.$$

En tanto que una curva afín, digamos $P(X_0,X_1)=0$ determina, por un proceso de homogenización, la curva proyectiva $Q(X_0,X_1,X_2)=0$ , con $Q(X_0,X_1,X_2)=X_2^dP\left(\frac{X_0}{X_2},\frac{X_1}{X_2}\right)$ , donde $d$ es el grado de $P(X_0,X_1)$ .

Por ejemplo, la curva afín $X_1^2-X_0^2(X_0+1)=0$ queda asociada a la curva proyectiva $X_1^2X_2-X_0^3-X_0^2X_2=0$ y la curva proyectiva $X_0^5+X_1^5-X_2^5=0$ queda asociada con la curva afín $X_0^5+X_1^5-1=0$ .

Una curva es irreducible si el polinomio que la representa no se factoriza como producto de polinomios no triviales. Mediante la transformación $Z(Q(X_0,X_1,X_2))\mapsto Z(Q(X_0,X_1,1))$ se tiene una correspondencia entre las curvas irreducibles proyectivas y las curvas irreducibles afines.

Un punto $[x_0,x_1,x_2]\in\mathbb{P}^2$ en la curva proyectiva $Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ es singular si $\partial_{X_0}Q(x_0,x_1,x_2) = \partial_{X_1}Q(x_0,x_1,x_2) = \partial_{X_2}Q(x_0,x_1,x_2) = 0$ . Si el punto no es singular se dice ser simple. La curva $Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ es suave si todos sus puntos son simples.