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Curvas afines y proyectivas

Seguiremos aquí la exposición en [4].

Sea $ \mathbb{K}$ un campo. Una curva algebraica afín es de la forma $ Z(P(X_0,X_1))$ , en la cerradura algebraica $ \overline{\mathbb{K}}$ de $ \mathbb{K}$ , para algún polinomio $ P(X_0,X_1)\in\mathbb{K}[X_0,X_1]$ :

$\displaystyle Z(P(X_0,X_1))=\{(x_0,x_1)\in\overline{\mathbb{K}}\vert P(x_0,x_1)=0\}.$

Si $ \mathbb{K}<\mathbb{K}_1<\overline{\mathbb{K}}$ , todo punto $ {\bf x}\in\mathbb{K}_1^2\cap Z(P(X_0,X_1))$ se dice ser un punto $ \mathbb{K}_1$ -racional. Una curva algebraica proyectiva es de la forma $ Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ para algún polinomio homogéneo $ Q(X_0,X_1,X_2)\in\mathbb{K}[X_0,X_1,X_2]$ . De acuerdo con la proposición 2.12, una curva proyectiva, digamos $ Q(X_0,X_1,X_2)=0$ determina tres curvas afines, por un proceso de deshomogenización:

$\displaystyle Q(X_0,X_1,1)=0  ,  Q(X_0,1,X_2)=0  ,  Q(1,X_1,X_2)=0.$

En tanto que una curva afín, digamos $ P(X_0,X_1)=0$ determina, por un proceso de homogenización, la curva proyectiva $ Q(X_0,X_1,X_2)=0$ , con $ Q(X_0,X_1,X_2)=X_2^dP\left(\frac{X_0}{X_2},\frac{X_1}{X_2}\right)$ , donde $ d$ es el grado de $ P(X_0,X_1)$ .

Por ejemplo, la curva afín $ X_1^2-X_0^2(X_0+1)=0$ queda asociada a la curva proyectiva $ X_1^2X_2-X_0^3-X_0^2X_2=0$ y la curva proyectiva $ X_0^5+X_1^5-X_2^5=0$ queda asociada con la curva afín $ X_0^5+X_1^5-1=0$ .

Una curva es irreducible si el polinomio que la representa no se factoriza como producto de polinomios no triviales. Mediante la transformación $ Z(Q(X_0,X_1,X_2))\mapsto Z(Q(X_0,X_1,1))$ se tiene una correspondencia entre las curvas irreducibles proyectivas y las curvas irreducibles afines.

Un punto $ [x_0,x_1,x_2]\in\mathbb{P}^2$ en la curva proyectiva $ Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ es singular si $ \partial_{X_0}Q(x_0,x_1,x_2) = \partial_{X_1}Q(x_0,x_1,x_2) = \partial_{X_2}Q(x_0,x_1,x_2) = 0$ . Si el punto no es singular se dice ser simple. La curva $ Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ es suave si todos sus puntos son simples.



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Guillermo Morales-Luna 2011-10-19