Un grupo algebraico es una variedad proyectiva tal que su producto
y su inversa
son sendos morfismos.
Por ejemplo, si
es un campo y
, el grupo
GL
es algebraico, pues es una variedad en
, la imagen inversa de
bajo la función de determinante, y además las operaciones son morfismos.
Un grupo lineal algebraico es un grupo algebraico
que es en sí una variedad afín.
Una variedad abeliana es un grupo algebraico que es una variedad proyectiva y conexa.
El producto de grupos algebraicos es un grupo algebraico.
Las operaciones de un grupo algebraico definen homomorfismos en el anillo de coordenadas
y
.
Sean
GL
y
GL
el subgrupo correspondiente a las matrices triangulares superiores con 1 en la diagonal. Se tiene que
es el grupo multiplicativo de
y
su grupo aditivo.
Para cada
, el grupo algebraico
es un toro.
Sean
una variedad,
un grupo algebraico y
una acción de grupo. Se dice que
es algebraica si es un morfismo.
Una variedad proyectiva
es una variedad tórica si es irreducible, normal y posee un subconjunto
abierto, denso, isomorfo a un toro tal que la acción natural de
sobre sí mismo se extiende a
.
Sean
y
dos grupos algebraicos y
,
sendas variedades sobre las que actúan
y
respectivamente. Sea
un homomorfismo de grupos. Un morfismo
se dice
-equivariante si conmuta con las acciones de
y
, es decir:
Sea
el retículo de coordenadas enteras, el cual es un
-módulo, también de dimensión
. Se tiene que
Hom
. Sea
el toro algebraico de dimensión
, el cual es un grupo multiplicativo, y sea
Hom
.
Cada
determina un carácter
,
. Naturalmente, se tiene
y
. Así pues,
es un homomorfismo de
al grupo de caracteres de
.
También se tiene que cada punto
determina una transformación
,
, donde
,
. Aquí también
y
. La imagen de
se dice ser un grupo uniparametrizado (one-parameter group), entonces
es en sí un homomorfismo de grupos.
Sea
una base de
y sea
la correspondiente base dual del dual
. Entonces la transformación
,
es un isomorfismo de grupos.
Para cada
sea
. Entonces
es un sistema de coordenadas para
.
Sea
un semigrupo finitamente generado, determinado por un cono poliédrico fuertemente convexo
. Sea
Entonces
Si
es una cara entonces existe un funcional
tal que
por lo cual
es también un cono poliédrico fuertemente convexo. Se tendrá
,
y éste es un conjunto abierto en
.
el cual es una variedad tórica de dimensión