Polinomios de Laurent

Sea ${\bf X}=(X_0,\ldots,X_{n-1})$ una colección de $n$ variables formales. El anillo de polinomios de Laurent es $\mathbb{C}[{\bf X},{\bf X}^{-1}]$ . Sea $\theta:\mathbb{Z}^n\to\mathbb{C}[{\bf X},{\bf X}^{-1}]$ el homomorfismo $i=(i_0,\ldots,i_{n-1})\mapsto {\bf X}^i=\prod_{j=0}^{n-1}X_j^{i_j}$ que identifica al retículo $\mathbb{Z}^n$ , y su estructura aditiva, con los monomios de Laurent, y su estructura multiplicativa.

Para un polinomio de Laurent $P({\bf X}) = \sum_{j\in J} a_j {\bf X}^i$ , donde $J\subset\mathbb{Z}^n$ es un conjunto finito, se define el soporte de $P({\bf X})$ como Spt$(P({\bf X})) = \{j\in\mathbb{Z}^n\vert a_j\not=0\}.$

Proposición 3.7   Sea $C$ un cono reticular y sea $R_C=\{P({\bf x})\in\mathbb{C}[{\bf X},{\bf X}^{-1}]\vert$   Spt$(P({\bf X}))\subset\check{C}\cap R_n^{\star}\}$ . Entonces $R_C$ tiene una estructura de anillo y es de hecho un álgebra monomial finitamente generada, es pues la $\mathbb{C}$ -álgebra generada por los monomios de Laurent.

En lo que sigue, utiizaremos la notación y los conceptos introducidos en la sección 3.1.

La variedad afín tórica de un cono poliédrico $C$ se define como Spec$(R_C)$ . Mediante la elección adecuada de generadores en $\check{C}\cap R_n^{\star}$ , la $\mathbb{C}$ -álgebra finitamente generada $R_C$ puede ser representada como un anillo de coordenadas. Tal representación determina, a su vez, una representación de la variedad afín tórica $X_C =$   Spec$(R_C)$ . Cualesquiera dos tales representaciones son homeomorfas.

Sea $\{{\bf a}_0,\ldots,{\bf a}_{n-1}\}$ un sistema de generadores de $\check{C}\cap R_n^{\star}$ . Para cada $i<n$ escribamos ${\bf a}_i = (\alpha_{i0},\ldots,\alpha_{i,n-1})$ . Mediante el isomorfismo $\theta$ se obtiene el monomio de Laurent $\mu_i = \theta({\bf a}_i) = \prod_{j=0}^{n-1}X_j^{\alpha_{ij}}$ . La $\mathbb{C}$ -álgebra $R_C = \mathbb{C}[\mu_0,\ldots,\mu_{n-1}]$ puede entonces escribirse como $R_C = \mathbb{C}[{\bf X}]/{\cal I}_C$ para algún ideal ${\cal I}_C$ construido como sigue:

Se ve que para cualesquiera $(\alpha_0,\ldots,\alpha_{n-1}),(\beta_0,\ldots,\beta_{n-1})\in\mathbb{N}^n$ , vale $\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i {\bf a}_i = \sum_{i=0}^{n-1}\beta_i {\bf a}_i$ en $\check{C}\cap R_n^{\star}$ cuando y sólo cuando $\prod_{i=0}^{n-1}X_i^{\alpha_i} = \prod_{i=0}^{n-1}X_i^{\beta_i}$ . Así pues sea

$${\cal P}_C = \{\prod_{i=0}^{n-1}X_i^{\alpha_i} - \prod_{i=0}^{n-1... ...{\beta_i}\vert \sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i a_i = \sum_{i=0}^{n-1}\beta_i a_i\},$$

y sea ${\cal I}_C = ({\cal P}_C)$ el ideal generado por esos polinomios.