El toro complejo.

Sea $C=\{0\}$ el cono trivial en $\mathbb{R}^n$ . Entonces el cono dual es $\check{C}=\mathbb{R}^{n\star}$ . Para $\check{C}\cap R_n^{\star}$ consideremos el conjunto de generadores $A_0 =\{{\bf e}_0^{\star},\ldots,{\bf e}_{n-1}^{\star},-{\bf e}_0^{\star},\ldots,-{\bf e}_{n-1}^{\star}\}$ , donde ${\bf e}_j^{\star}$ es el $j$ -ésimo vector de la base dual de la canónica en $\mathbb{R}^n$ . La correspondiente $\mathbb{C}$ -álgebra monomial es

$$\mathbb{C}[X_0,\ldots,X_{n-1};X_0^{-1},\ldots,X_{n-1}^{-1}] = \mathbb{C}[X_0,\ldots,X_{n-1};X_n,\ldots,X_{2n-1}]/{\cal I}_C$$

donde ${\cal I}_C$ está generado por la familia de polinomios ${\cal P}_C = \left(X_iX_{n+i}-1\right)_{i=0}^{n-1}$ . En consecuencia, la variedad tórica es Spec$(R_C) = V\left({\cal P}_C\right)$ . De hecho la transformación $({\bf x}_0,\ldots,{\bf x}_{n-1};{\bf x}_0^{-1},\ldots,{\bf x}_{n-1}^{-1})\mapsto({\bf x}_0,\ldots,{\bf x}_{n-1})$ determina un homeomorfismo Spec$(R_C)\to(\mathbb{C}-\{0\})^n$ . Como $\mathbb{C}$ es un campo, se denota $\mathbb{C}^* = \mathbb{C}-\{0\}$ a su grupo multiplicativo. El espacio $\mathbb{T}=(\mathbb{C}^*)^n$ se llama $n$ -toro complejo algebraico y es homeomorfo a $(S_1)^n\times (\mathbb{R}^+)^n$ . Por tanto, el $n$ -toro complejo contiene al $n$ -toro real.