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Aritmética de Peano

Una lógica se construye sobre un alfabeto, el cual consiste de símbolos especiales, los cuales son, usualmente, los conectivos lógicos, los cuantificadores, paréntesis y comas, de las variables y de una signatura propia, la cual consiste de constantes, funciones y predicados o relaciones. En la tabla 5.4 presentamos una signatura para la lógica de conjuntos y en las tablas 5.55.6 presentamos dos signaturas para la aritmética de Peano, sin embargo, en la presentación ulterior de la aritmética de Peano supondremos la signatura de la tabla 5.5.
 
Table 5.4: Signatura de la Teoría de Conjuntos.
\fbox{\begin{minipage}[t]{40em}
\begin{tabular}{lclclcl}
{\em Constantes} &:& ...
...ciones} &:& $\in$\space &-& pertenece a (binaria)
\end{tabular}
\end{minipage}}


 
Table: Signatura $\mbox{\it AP}$ de la Aritmética de Peano.
\fbox{\begin{minipage}[t]{20em}
\begin{tabular}{lclcl}
{\em Constantes} &:& $0...
...m Relaciones} &:& $=$\space &-& igual a (binaria)
\end{tabular}
\end{minipage}}


 
Table: Signatura $\mbox{\it AP}_1$ de la Aritmética de Peano.
\fbox{\begin{minipage}[t]{38em}
\begin{tabular}{lclcl}
{\em Constantes} &:& Nu...
...naria)\\
&:& $<$\space &-& menor que (binaria)
\end{tabular}
\end{minipage}}

Si ${\cal L}$ es una lógica, se distinguen en ella palabras bien formadas:
Términos.
Se forman recurrentemente por las siguientes reglas:
1.
$\xi\in\mbox{\it Variables}\cup\mbox{\it Constantes}\ \Rightarrow\ \xi\in\mbox{\it T\'erminos}$.
2.
$f\in\mbox{\it Funciones}^n,\xi_1,\ldots,\xi_n\in\mbox{\it T\'erminos}\ \Rightarrow\ f(\xi_1,\ldots,\xi_n)\in\mbox{\it T\'erminos}$.
Atomos.
Símbolos de relaciones ``evaluados'' en términos:
1.
$R\in\mbox{\it Relaciones}^n,\xi_1,\ldots,\xi_n\in\mbox{\it T\'erminos}\ \Rightarrow\ R(\xi_1,\ldots,\xi_n)\in\mbox{\it Atomos}$.
Fórmulas.
Se forman recurrentemente por las siguientes reglas:
1.
$\phi\in\mbox{\it Atomos}\ \Rightarrow\ \phi\in\mbox{\it F\'ormulas}.$
2.
$\begin{array}[t]{lcr}
\phi_1,\phi_2\in\mbox{\it F\'ormulas} &\Rightarrow& \neg...
...ow \phi_2, \phi_1\leftrightarrow \phi_2\in\mbox{\it F\'ormulas}\;
\end{array}$
3.
$\phi\in\mbox{\it F\'ormulas} \ \Rightarrow\ \exists x \phi(x), \forall x \phi(x)\in\mbox{\it F\'ormulas}$
Enunciados.
Fórmulas sin variables ``libres''.


 
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Guillermo Morales-Luna
2000-07-10