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Enteros algebraicos

1. Sea K un campo. Un polinomio $P(X)\in K[X]$ es

• irreducible si rige la implicación
  
  $$P(X)=Q_1(X)Q_2(X)\;\Rightarrow\;\partial Q_1(X)=0\;\lor\;\partial Q_2(X)=0,$$
  
  

• mónico si su coeficiente principal es 1.

Un elemento $\alpha$ en una extensión de K es algebraico sobre K si existe un polinomio $P(X)\in K[X]$ tal que $P(\alpha)=0$. Si $\alpha$ es algebraico existe un polinomio mínimo irreducible P(X) tal que $P(\alpha)=0$, y es único salvo multiplicación por constantes. P(X), hecho mónico, es el irreducible de $\alpha$. $\alpha$ es entero algebraico si es algebraico y su polinomio irreducible es mónico con coeficientes enteros.

2. El conjunto de números algebraicos forma un campo.

3. El conjunto de enteros algebraicos forma un anillo.

4. Para todo algebraico $\alpha$ existe un entero racional m tal que $m\alpha$ es un entero algebraico.

5. Si $\alpha$ es algebraico y su irreducible es de orden n el conjunto

$$K(\alpha)=\left\{\sum_{i=0}^{n-1}a_i\alpha^i\vert a_i\in K,\forall i\in[0,n-1]\right\}$$

es una extensión de K de orden n. Las extensiones de orden 2 se dicen ser cuadráticas.

6. Dados dos enteros algebraicos $\alpha$ y $\beta$ decimos que $\alpha$ divide a $\beta$, $\alpha\vert\beta$, si existe un entero algebraico $\gamma$ tal que $\beta=\alpha\cdot\gamma$. Los divisores de 1 se dicen ser unidades. Las unidades forman un grupo multiplicativo.

7. Si m es un entero racional que no es un cuadrado, entonces $Q(\sqrt{m})$ es un campo cuadrático. El conjunto de enteros algebraicos $Z_{Q(\sqrt{m})}$ se caracteriza de la siguiente forma:

$$\begin{eqnarray*}m\not\equiv1\mbox{\rm mod }4 &\Rightarrow& Z_{Q(\sqrt{m})}=\lef... ...(\sqrt{m})}=\left\{\frac{a+b\sqrt{m}}{2}\vert a,b\in Z\right\} \end{eqnarray*}$$

8. Un campo cuadrático real es de la forma $R(\sqrt{m})$ donde $m\in N$ no es un cuadrado. Sus enteros son las raices en él de polinomios mónicos con coeficientes enteros.
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