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Conceptos básicos

Un universo es una colección de objetos de los que se hablará en una lógica específica. Por ejemplo, si se ha de tratar de ``contribuyentes al fisco'', entonces el universo consistirá de las personas físicas o morales que pagan o han de pagar impuestos y, naturalmente, de las cantidades pagadas como impuesto. Si se habla de automóviles y sus refacciones, el universo consistirá de los objetos involucrados, a saber, automóviles y componentes de ellos que sean relevantes en el discurso.

Un conjunto en el universo es, desde un punto de vista intuitivo, una colección de objetos en el discurso tal que es posible decidir cuándo un objeto del universo está o no en esa colección. En el universo de contribuyentes, las personas físicas forman un conjunto, las personas morales otro, los contribuyentes cuyo pago anual de impuestos excede 10⁵ unidades monetarias forma un conjunto, etc. Abstrayendo la noción de conjunto, se puede considerar que un conjunto es exactamente una función del universo en el conjunto de valores 0,1 que asocia precisamente el valor 1 a los objetos que estén en el conjunto y el valor 0 a los que no¹.

Un conjunto difuso es también una función que asocia a cada objeto del universo un valor en el intervalo [0,1]. Si x es un objeto en el universo y y=C(x) es el valor asociado a x, se dice que y es el grado de pertenencia del objeto x al conjunto difuso C.

Así pues, todo conjunto en el sentido usual es también un conjunto difuso. Los conjuntos usuales merecen un nombre especial. En inglés, por ejemplo, se les llama de manera convencional crisp² sets. En español no hay una tal convención, así que aquí los llamaremos sencillamente conjuntos usuales.

El conjunto vacío $\emptyset$ coincide con la función idénticamente cero y el universo coincide con la función constante 1.

Por ejemplo, en el universo de contribuyentes, para cada contribuyente x, sea i(x) el impuesto anual pagado por x en unidades monetarias. En México, podemos suponer que i(x)=10⁴ es un valor más o menos generalizado, i(x)=10⁵ es un valor propio de un contribuyente de la ``clase media alta'' e i(x)=10<sup>6</sup> es propia de un millonario. Por supuesto que hay posibles valores mayores para la función i. Podemos distinguir un conjunto de ``contribuyentes mayores'' asociándole a cada contribuyente x el valor 1 si $i(x)\geq 10^6$, el valor $\frac{i(x)- 10^4}{99\cdot 10^4}$ si $10^4\leq i(x)\leq 10^6$, y 0 en cualquier otro caso. En la figura 1 (a) presentamos gráficamente a esta función que determina a un conjunto difuso de contribuyentes mayores. El eje de las x's tiene como unidades ``diez millares de unidades monetarias'' y se muestra ahí únicamente a valores entre -10 y 110 $(\times 10^4)$. Otro conjunto de ``contribuyentes mayores'' se puede construir asociándole a cada contribuyente x el valor f(i(x)) donde $f(t)=\frac{1}{\pi}\mbox{ArcTan}\left(\frac{y}{10^5}-5\right)+\frac{1}{2}$. En la figura (1) (b) se ve la gráfica de esta segunda función. Aquí la distinción entre contribuyentes mayores y no-mayores es más drástica alrededor de las 500 000 unidades monetarias.

  

Figure 1: Dos conjuntos difusos de ``contribuyentes mayores''.

Otros ejemplos.

1. Mónadas: Sea x un punto del universo. La función que vale 1 en x y 0 en cualquier otro punto se dice ser la mónada, del punto x.

2. Valores cercanos a un centro: Consideremos como universo a un intervalo en la recta real. Sea x₀ un punto del intervalo y h>0.

Consideremos la función lineal por trozos $\mbox{\it lin}_{x_0,h}$ tal que antes del extremo inferior x₀-h es nula, entre x₀-h y x₀ va de 0 a 1, entre x₀ y x₀+h va de 1 a 0 y después del extremo superior x₀+h es nula. $\mbox{\it lin}_{x_0,h}$ puede verse como el conjunto de ``puntos cercanos'' a x₀. En la figura 2 presentamos dos funciones de este tipo.

  

Figure 2: Dos conjuntos difusos de puntos cercanos a un punto.

En los conjuntos usuales, se tiene una serie de conceptos bien definidos, a saber, cuándo un conjunto es un subconjunto de otro, cuándo dos conjuntos son iguales, cuántos elementos tiene un conjunto, etc. En lo que resta de esta sección presentaremos extensiones de aquellas definiciones elementales e introduciremos terminología que utilizaremos posteriormente.

Subconjuntos

Dados dos conjuntos difusos A y B en un universo, diremos que A es un subconjunto de B si para todo objeto x del universo se cumple la desigualdad $A(x)\leq B(x)$. Los conjuntos serán iguales si cada uno es un subconjunto del otro, en otras palabras, si para todo x, A(x) = B(x).

Por ejemplo, en el conjunto de contribuyentes consideremos al conjunto mostrado en la figura 1 (a):

$$\mbox{\it \lq\lq contribuyentes mayores''}(x)=\left\{\begin{array}... ...6$ ,} \\ 0 & \mbox{en cualquier otro caso,} \end{array}\right.$$ (1)

donde i(x) es el impuesto anual pagado por x en unidades monetarias. Ahora consideremos al conjunto de

$$\mbox{\it \lq\lq contribuyentes gigantes''}(x)=\left\{\begin{array... ...8$ ,} \\ 0 & \mbox{en cualquier otro caso,} \end{array}\right.$$ (2)

cuya gráfica está en la figura 3 (a) (observe ahí que aunque se tiene la misma forma que en la figura 1 (a) la escala de valores en el dominio de la función es distinta).

  

Figure 3: Los contribuyentes gigantes forman un subconjunto del de los contribuyentes mayores. En la gráfica (a) se ve el conjunto de contribuyentes gigantes. En la (b) se ve a ambos conjuntos de contribuyentes mayores y gigantes.

Se tiene,

• si $i(x)\leq 10^4$ entonces $\mbox{\lq\lq mayores''}(x)=0$ y $\mbox{\lq\lq gigantes''}(x)=0$,
• si $10^4\leq i(x)\leq 10^6$ entonces $\mbox{\lq\lq mayores''}(x)=\frac{i(x)- 10^4}{99\cdot 10^4}$ y $\mbox{\lq\lq gigantes''}(x)=0$,
• si $10^6\leq i(x)\leq 10^8$ entonces $\mbox{\lq\lq mayores''}(x)=1$ y $\mbox{\lq\lq gigantes''}(x)=\frac{i(x)- 10^6}{99\cdot 10^6}$, y finalmente
• si $10^8\leq i(x)$ entonces $\mbox{\lq\lq mayores''}(x)=1$ y $\mbox{\lq\lq gigantes''}(x)=1$.

En cualquier caso

$$\mbox{\lq\lq gigantes''}(x)\leq\mbox{\lq\lq mayores''}(x).$$ (3)

Gráficamente esto se ve en la figura 3 (b), donde la función que ahí aparenta ser la constante 1 es la que determina el conjunto difuso de contribuyentes mayores . Por tanto el conjunto de contribuyentes gigantes es un subconjunto del de contribuyentes mayores. Todo contribuyente que sea ``gigante'' ha de ser ``mayor'', aunque el recíproco no se cumpla.

Puede parecer paradójica la ec. (3), mas no lo es. Por ejemplo, un contribuyente que aporta un impuesto de, digamos, $i(x)=4951\times 10^4$ unidades monetarias tiene un grado de pertenencia a ``gigantes'' igual a 1/2, mas su grado de pertenencia a ``mayores'' es 1. Es pues ``mayor'' con toda certeza, mas no tanto es ``gigante''.

Cortes

Estas operaciones en conjuntos difusos permite transformarlos en conjuntos usuales. Fijo un umbral a se toma alos elementos cuyo grado de pertenencia al conjunto difuso sea al menos a.

Sea A un conjunto difuso y sea $a\in[0,1]$ un número entre 0 y 1. El corte-a de A es el conjunto, en el sentido usual, consistente de aquellos objetos cuyos grados de pertenencia a A superen, estrictamente, el valor a.

En el ejemplo arriba de ``contribuyentes gigantes'' si se fija, por ejemplo $a=\frac{1}{2}$ entonces el corte- $\frac{1}{2}$ consta de los contribuyentes cuya contribución anual exceda a las $49.51\times 10^6$unidades monetarias.

Si a>0, el corte-a cerrado de A es³ A^a el cual conjunto consta de los puntos cuyos grados de pertenencia a A no sea inferior a a.

Tamaños

Con esta noción ``contaremos'' a los elementos de un conjunto difuso.

El tamaño, o cardinalidad, de un conjunto difuso A en un universo dado es la suma, sobre los elementos del universo, de los grados de pertenencia a A: ${\displaystyle T(A)= \sum_{x}A(x)}.$

El peso relativo, respecto a A, de cada objeto x del universo es $p_A(x)=\frac{A(x)}{T(A)}$.

Por ejemplo, en el recuadro (1) presentamos un universo de 10 contribuyentes, cada uno con su respectivo impuesto anual, y sus grados de pertenencia a los conjuntos de contribuyentes ``mayores'' y ``gigantes''.

 

Table 1: Un universo de 10 contribuyentes.

Contribuyente	Impuesto	Grado	Grado	PesoRel	PesoRel
	$\times 10^4$	``mayores''	``gigantes''	``mayores''	``gigantes''
Azcárraga	8 454	1	$\frac{8453}{9900}$	18.30	77.59
Bracho	10	$\frac{1}{11}$	0	1.66	0.00
Cárdenas	200	1	$\frac{ 199}{9900}$	18.30	1.83
De la Madrid	300	1	$\frac{ 299}{9900}$	18.30	2.74
Elizondo	4	$\frac{1}{33}$	0	.55	0.00
Fox	945	1	$\frac{ 236}{2475}$	18.30	8.67
Gómez	1	0	0	0.00	0.00
Hernández	34	$\frac{1}{ 3}$	0	6.10	0.00
Iglesias	1 000	1	$\frac{ 111}{1100}$	18.30	9.17
Jiménez	2	$\frac{1}{99}$	0	0.18	0.00
Tamaños:		$\frac{541}{99}$	$\frac{5447}{4950}$

El tamaño del conjunto ``mayores'' en ese universo es $\frac{541}{99}=5.464646\ldots$ o sea, la suma de la tercera columna en el recuadro (1). El del conjunto ``gigantes'' es $\frac{5447}{4950}=1.100404040\ldots$ o sea, la suma de la cuarta columna. Así pues, podemos pensar que ``mayores'' abarca aproximadamente el 54% de los 10 miembros del universo y ``gigantes'' el 11%.

Los pesos relativos de cada contribuyente en los dos conjuntos aparecen, multiplicados por 100 para expresarlos como porcentajes, en el mismo recuadro (1), en sus últimas columnas.

Momentos

Los momentos en un conjunto difuso son parámetros correspondientes a promedios ponderados de los grados de pertenencia de los elementos en el universo al conjunto difuso.

El valor esperado, o centroide, de un conjunto difuso A es el promedio ${\displaystyle \varepsilon(A)=\sum_{x} xp_A(x)}$. Inclusive, se define la noción de m-ésimo momento de A como ${\displaystyle \varepsilon_m(A)=\sum_{x} x^mp_A(x)}$.

Los momentos de un conjunto difuso proporcionan información sobre la ``distribución'' de los puntos en ese conjunto difuso.

Por ejemplo, en el recuadro (2) presentamos los momentos de órdenes 1, 2, 5 y 20 de los conjuntos ``mayores'' y ``gigantes'' en el universo de los 10 contribuyentes.

 

Table 2: Momentos de orden 1, 2, 5 y 20 en el universo de 10 contribuyentes.

Orden k	k-ésimo momento de	k-ésimo momento de
	``mayores''	``gigantes''
1	0.937004051606639	0.6812326310655667
2	0.921892613092972	0.5674392997837057
5	0.915223398204837	0.3521307053587635
20	0.914972273584962	0.0329106898382526

El momento de orden 1 es el centroide. Para el conjunto de ``mayores'', se tiene que el valor esperado del grado de pertenencia a ese conjunto es 0.93... La manera en la que decrecen los valores de los momentos muestra que la noción de ``mayores'' está distribuída más uniformemente que la de ``gigantes'' en el universo planteado en el recuadro (1).

Realces

Un realce es una función unaria $r:[0,1] \rightarrow [0,1]$ que hace el papel de un adverbio en un conjunto difuso. Dado un conjunto difuso A el realce de A bajo r es la función que se obtiene de aplicar primero A y luego r, llamada también la composición $r\circ A$. Un realce es pues un subconjunto difuso en el intervalo unitario [0,1]. Si para cada t, $r(t)\geq t$, decimos que r es un realce diminutivo⁴ en tanto que si para cada t, $r(t)\leq t$, decimos que r es un realce aumentativo. En el ejemplo más adelante se verá una justificación de esta terminología.

Para cada p>0, la función $r_p:[0,1] \rightarrow [0,1]$, $t\mapsto r_p(t)=t^p$ es un realce. Para $p\leq 1$ el realce r_p es diminutivo y para $p\geq 1$, r_p es aumentativo. En la figura 4 se muestra las gráficas de las funciones r_p para $p=\frac{1}{10},\frac{1}{2},1,2,10$.

  

Figure: Gráficas de las funciones r_p para $p=\frac{1}{10},\frac{1}{2},1,2,10$.

  

Figure: (a) Gráfica de la función r₀. (b) Gráfica de la función $r_{\infty }$.

Como casos extremos están p=0, que hace 1 a todo grado de pertenencia positivo según se ve en la figura 5 (b), y $p=\infty$, que hace 0 a todo grado de pertenencia inferior a 1 según se ve en la figura 5 (c). r₀ es el ``más diminutivo'' de los realces r<sub>p</sub> y $r_{\infty }$ el ``más aumentativo''.

Ejemplo:

Consideremos como universo al conjunto de vehículos de transporte. Sea $\mbox{\it Veloz}$ el conjunto difuso que a cada vehículo v le asocia el valor $\frac{V(v)^2}{V(v)^2+10^4}$, donde V(v) es la velocidad promedio, medida en $\frac{\mbox{\scriptsize kms}}{\mbox{\scriptsize hr}}$, con la que v recorre la distancia entre dos puntos prefijados. En el recuadro (3) mostramos algunos ejemplos de valores de velocidad y su gráfica, visto como función.

 

Table 3: Ejemplos de qué tan veloces son algunos vehículos (las expresiones entre llaves indican períodos repetidos en la expansión decimal.).

Vehículo v	Vel. en $\frac{\mbox{\scriptsize kms}}{\mbox{\scriptsize hr}}$	$\mbox{\it Veloz}(v)$
$\mbox{Auto}_1$	100	$\;\;\frac{1}{2}=0.5$
$\mbox{Auto}_2$	150	$\;\frac{9}{13}=0.\{692307\}^*$
$\mbox{Avioneta}_1$	500	$\;\frac{25}{26}=0.9\{615384\}^*$
$\mbox{Avi\'on}_1$	900	$\;\frac{81}{82}=0.9\{87804\}^*$
$\mbox{Avi\'on}_2$	1000	$\frac{100}{101}=0.\{9900\}^*$

Ahora bien, consideremos el realce diminutivo $(\mbox{\it Al menos un poco})= r_{\frac{1}{2}}$. Entonces para cada posible vehículo vtendremos $(\mbox{\it Al menos un poco veloz})(v)=\sqrt{\mbox{\it Veloz}(v)}$. En el recuadro (4) mostramos los mismos ejemplos considerando el conjunto difuso al menos un poco veloz.

 

Table 4: Ejemplos de qué tan ``al menos un poco veloces'' son algunos vehículos.

Vehículo v	Vel. en $\frac{\mbox{kms}}{\mbox{hr}}$	$\mbox{\it Al menos un poco veloz}(v)$
$\mbox{Auto}_1$	100	$\frac{1}{\sqrt{2}} =0.7071067\ldots$
$\mbox{Auto}_2$	150	$\frac{3}{\sqrt{13}} =0.8320502\ldots$
$\mbox{Avioneta}_1$	500	$\frac{5}{\sqrt{26}} =0.9805806\ldots$
$\mbox{Avi\'on}_1$	900	$\frac{9}{\sqrt{82}} =0.9938837\ldots$
$\mbox{Avi\'on}_2$	1000	$\frac{10}{\sqrt{101}}=0.9950371\ldots$

Los vehículos que son menos rápido tienen un grado de pertenencia mayor al conjunto Al menos un poco veloz. Similarmente, consideremos el realce aumentativo $\mbox{\it Muy}=r_{2}$. Entonces para cada posible vehículo v tendremos $(\mbox{\it Muy veloz})(v)=\mbox{\it Veloz}(v)^2$. En el recuadro (5) mostramos los mismos ejemplos considerando el conjunto difuso muy veloz.

 

Table 5: Ejemplos de qué tan ``muy veloces'' son algunos vehículos.

Vehículo v	Vel. en $\frac{\mbox{kms}}{\mbox{hr}}$	$\mbox{\it Muy Veloz}(v)$
$\mbox{Auto}_1$	100	$\frac{1}{4} =0.25$
$\mbox{Auto}_2$	150	$\frac{81}{169} =0.4792899\ldots$
$\mbox{Avioneta}_1$	500	$\frac{625}{676} =0.9245562\ldots$
$\mbox{Avi\'on}_1$	900	$\frac{6561}{6724} =0.9757584\ldots$
$\mbox{Avi\'on}_2$	1000	$\frac{10000}{10201}=0.9802960\ldots$

También aquí, los vehículos veloces tienen un menor grado de pertenencia a los Muy veloces.

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