Desdifusificar

La operación de desdifusificar⁵, u operación-DF para abreviar, consiste en seleccionar un elemento representativo de un conjunto difuso. Con esta operación ``se suprime lo difuso'' porque habiendo estimado propiedades de un conjunto difuso, se elige a un objeto ``concreto'' que lo representa. Para esto, existen diversos criterios.

Tómese como representante de un conjunto difuso al primer elemento x_Aen el universo X, de acuerdo con un orden dado, tal que $A(x_A)=\mathop{\rm Max}\{A(x)\vert x\in X\}$ .

Este criterio conlleva la dificultad de calcular un valor máximo de una función real, precisamente A, definida sobre X.

Dado un conjunto difuso A en un universo X, sea $a\in]0,1[$ un número real positivo, pero estrictamente menor que 1. Diremos que el número a es el umbral de corte. Elíjase un elemento $x_0\in A_a$ en el corte-a de A.

Dado un conjunto difuso A en un universo X, sea $m_1(A)=\sum_{x\in X} A(x) p_A(x)$ su centroide. Elíjase al elemento $x_0\in X$ tal que

$\begin{displaymath}\left\vert A(x_0)-m_1(A)\right\vert=\mathop{\rm Min}\{\vert A(x)-m_1(A)\vert\; \vert x\in X\}\end{displaymath}$

Por ejemplo, con este criterio, cualquiera de los contribuyentes Azcárraga, Cárdenas, De la Madrid, Fox o Iglesias, desdifusifica al conjunto de ``mayores'', y sólo Azcárraga desdifusifica al de ``gigantes''.

De manera más general, para $k\geq 1$ , se puede elegir al elemento $x_0\in X$ tal que

$\begin{displaymath}\left\vert A(x_0)^k-m_k(A)\right\vert=\mathop{\rm Min}\{\vert A(x)^k-m_k(A)\vert\; \vert x\in X\}\end{displaymath}$

Supongamos por ahora que el universo X posee una estructura geométrica de espacio vectorial. Dados dos vectores $x_1,x_2\in X$ se tiene definida su suma, x₁+x₂, y para cada número real t se tiene también la elongación t x₁ del vector x₁ por el escalar t. Para fijar ideas, el lector puede suponer que X es el espacio tridimensional $X=I\!\! R^3=I\!\! R\times I\!\! R\times I\!\! R$ .

Dado un conjunto $X'=\{x_1,\ldots,x_n\}$ de n puntos en X, y dados ncoeficientes $a_1,\ldots,a_n\in[0,1]$ tales que $\sum_{i=1}^n a_i=1$ , el vector $\sum_{i=1}^n a_i x_i$ se dice ser una suma convexa de los elementos de X' y está precisamente en el poliedro mínimo que contiene a X'. Recíprocamente, se tiene que dado cualquier punto xen ese poliedro mínimo han de existir coeficientes $a_1,\ldots,a_n\in[0,1]$ tales que $\sum_{i=1}^n a_i=1$ y $x=\sum_{i=1}^n a_i x_i$ . Por esta razón a ese poliedro mínimo se le llama la cerradura convexa de X'.

Un conjunto difuso A en X se dice ser convexo si para cualesquiera n puntos $x_1,\ldots,x_n\in X$ y cualesquiera ncoeficientes $a_1,\ldots,a_n\in[0,1]$ tales que $\sum_{i=1}^n a_i=1$ , se tiene

$\begin{displaymath}A\left(\sum_{i=1}^n a_i x_i\right)\geq \sum_{i=1}^n a_i A(x_i).\end{displaymath}$

Sea $a\in[0,1]$ . Recordamos que el corte-a cerrado A^a de A consta de todos los puntos cuyo grado de pertenencia a A no es inferior al valor a. El centro de gravedad de altura a de A es

$\begin{eqnarray*}C(A,a) &=& \frac{1}{T(A^a)}\sum_{x\in A^a} A(x) x \mbox{ si $X$... ... A(x) x\, dx\mbox{ si $X$\space es un espacio de integraci\'on.} \end{eqnarray*}$

El centro de gravedad C(A,a) es pues el promedio de los elementos en el corte-a de A.

El centro de gravedad máximo es el centro de gravedad de altura $\mathop{\rm Max}\{A(x)\vert x\in X\}$ .

En el caso de que A sea un conjunto convexo, cualquiera de los centros básico o máximo puede ser un buen representante del conjunto difuso A.

Sin embargo, si A no es convexo, la selección por centros puede ser muy desafortunada. Por ejemplo, si A fuese un conjunto usual, entonces se podría elegir a un elemento fuera de A con este criterio.

Ejemplo. Sea X=[0,1] y sea A_p el conjunto difuso $x\mapsto x^p$ , con p>0. Para p=2 la gráfica de A_p es una parábola. Para $p=\frac{1}{2}$ , coincide con la gráfica de la raíz cuadrada según se muestra en la figura 4.

Dado $a\in]0,1[$ se tiene: $\left(x^p\geq a\Leftrightarrow x\geq a^{\frac{1}{p}}\right)$ . Por tanto, el corte-a cerrado es $\left(A_p\right)^a=[a^{\frac{1}{p}},1]$ . Así pues, el tamaño de este corte-a es $T\left(\left(A_p\right)^a\right)=1-a^{\frac{1}{p}}$ y, un cálculo directo muestra que

$\begin{displaymath}\int_{a^{\frac{1}{p}}}^1 x^p x\,dx=\frac{1}{2+p}\left[1-\left(a^{\frac{1}{p}}\right)^{2+p}\right].\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}C(A_p,a)=\frac{1}{2+p}\frac{1-\left(a^{\frac{1}{p}}\right)^{2+p}}{1-a^{\frac{1}{p}}}. \end{displaymath}$

(4)

**Figure:** El centro de gravedad $C:(a,p)\mapsto C(a,p)$ , en términos de la altura a, con $0\leq a\leq 1$ , y del exponente p, con $0\leq p\leq 2$ .
$\begin{figure}\begin{center} \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture} (8,6... ...fysize=6cm \epsfbox{GrafCap.epsi}\par\end{picture}\par\end{center} \end{figure}$

Para $p\leq 1$ , el conjunto A_p es convexo. Por lo cual, el grado de pertenencia del centro no será inferior al promedio de los grados de pertenencia. En este caso, de la ec. (4) se ve que cuando $p\searrow 0$ , es decir, cuando p decrece hacia cero, entonces independientemente del umbral $a\in]0,1[$ el centro tenderá a ser $\frac{1}{2}$ , es decir, el centro de gravedad tenderá a ser el punto medio del universo. Véase esto en la figura 7 (a), donde se ve la gráfica de centros de gravedad, rotada de manera que en un primer plano aparezca el correspondiente a p=0, y la escala de valores de la altura a.

**Figure 7:** (a) Vista de la función de centros de gravedad desde el plano p=0. (b) Vista de la función de centros de gravedad desde el plano a=0.
$\begin{figure}\begin{center} \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{tabular}{cc} ... ...psi}\par\end{picture}\par\\ (a) & (b) \end{tabular} \end{center} \end{figure}$

Para p> 1, el conjunto A_p no es convexo. En particular, si p fuese un entero, de la ec. (4) resulta

$\begin{displaymath}C(A_p,a)=\frac{1}{2+p}\sum_{i=0}^{1+p}a^{\frac{i}{p}}. \end{displaymath}$

(5)