Productos cartesianos

Recordamos que para dos conjuntos usuales A, B su producto cartesiano consta de todas las parejas ordenadas de la forma (a,b)donde $a\in A$ y $b\in B$ . Así pues, si $\diamond$ es un operador conjuntor y A y B son conjuntos difusos en sendos universos X e Y, su producto cartesiano es el conjunto difuso

$\begin{displaymath}A\times B:X\times Y\rightarrow [0,1], (x,y)\mapsto A(x)\diamond B(y).\end{displaymath}$

Una relación, en el sentido usual, entre dos conjuntos es un subconjunto de su producto cartesiano. Por tanto, se puede considerar a una relación difusa entre dos universos como un conjunto difuso en su producto cartesiano.

Ejemplo: Para X=[0,1], el conjunto difuso en X², $\approx:(x,y)\mapsto \frac{1}{1+(x-y)^2}$ puede ser visto como la relación difusa ``aproximadamente igual''. Mostramos su gráfica en la figura 17.

**Figure 17:** (a) Gráfica de la relación `` *aproximadamente igual*''. (b) Gráfica de densidad de la relación `` *aproximadamente igual*''.
$\begin{figure}\begin{center} \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{tabular}{cc} ... ...psi}\par\end{picture}\par\\ (a) & (b) \end{tabular} \end{center} \end{figure}$

Si R es una relación difusa en $X\times Y$ , las respectivas proyecciones de R en X y en Y son los conjuntos difusos

$\begin{eqnarray*}\pi_X[R]:x &\mapsto& \mathop{\rm Max}\{R(x,y)\vert y\in Y\}, \\ \pi_Y[R]:y &\mapsto& \mathop{\rm Max}\{R(x,y)\vert x\in X\}. \end{eqnarray*}$

Si R es una relación difusa en $X\times Y$ y S es una relación difusa en $Y\times Z$ , la composición de R con S en $X\times Z$ es el conjunto difuso $S\circ R:(x,z)\mapsto \mathop{\rm Max}\{R(x,y)\diamond S(y,z)\vert y\in Y\}$ .

$\begin{displaymath}\mbox{\it Chicos}\ =\ \{\mbox{\begin{minipage}[t]{30em} {\em ... ... Felipe, Guillermo, H\'ector, Ignacio, Juan } \}\end{minipage}}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\mbox{\it Chicas}\ =\ \{\mbox{\begin{minipage}[t]{30em} {\em ... ...irginia, Wanda, X\'ochitl, Yolanda, Zenaida } \}\end{minipage}}\end{displaymath}$

Una relación difusa, llamémosla Prefiere_A, del conjunto de Chicos sobre el conjunto de Chicas se muestra en el recuadro (6).

**Table 6:** Relación *Prefiere_A* de *Chicos* a *Chicas*.
$\begin{table}\begin{displaymath}\begin{array}{\vert\vert r\vert\vert c\vert c\ve... ...5} & \frac{4}{5} \\ \hline \hline \end{array}\end{displaymath}\space \end{table}$

Pero, obviamente, ¡las chicas también tienen sus preferencias! Consideremos la relación Elige_A de Chicas en Chicos que se muestra en el recuadro (7).

**Table 7:** Relación *Elige_A* de *Chicas* a *Chicos*.
$\begin{table}\begin{displaymath}\begin{array}{\vert\vert r\vert\vert c\vert c\ve... ...ac{4}{5} & \frac{4}{5} \\ \hline \hline \end{array}\end{displaymath} \end{table}$

En las relaciones definidas, se tiene, por ejemplo, que Beto prefiere más a Xóchitl pero ella elige más a Abel, Ernesto, Felipe y Héctor.

La composición $(\mbox{\it Elige\_A})\circ (\mbox{\it Prefiere\_A})$ , llamémosla Siéntese_Rival_De (SRD), es una relación de Chicos en Chicos: Fulano Siéntese_Rival_De Zutano si la chica que más prefiere Fulano elige más a Zutano. Utilizando como conjuntor a la operación $\mathop{\rm Min}$ se tiene la relación mostrada en el recuadro (8).

**Table:** Relación $\mbox{\it SRD}=(\mbox{\it Elige\_A})\circ (\mbox{\it Prefiere\_A})$ de *Chicos* a *Chicos*.
$\begin{table}\begin{displaymath}\begin{array}{\vert\vert r\vert\vert c\vert c\ve... ...ac{4}{5} & \frac{4}{5} \\ \hline \hline \end{array}\end{displaymath} \end{table}$

La terminología es desafortunada pues, por ejemplo, Chucho SRD de sí mismo (lo que es muy bueno). El prefiere más que a nadie a Wanda, pero ella no se muestra muy afecta a los chicos propuestos. En cambio, Chucho y Teresa se atraen recíprocamente con 0.8. Por otro lado, Juan quiere tanto a todas las chicas, menos a Virginia, que SRD de cualquier otro chico.

Finalmente, la composición $(\mbox{\it Prefiere\_A})\circ (\mbox{\it Elige\_A})$ , llamémosla Celosa_De (CD), es una relación de Chicas en Chicas. Se tiene la relación mostrada en el recuadro (9).

**Table:** Relación $\mbox{\it CD}=(\mbox{\it Prefiere\_A})\circ (\mbox{\it Elige\_A})$ de *Chicas* a *Chicas*.
$\begin{table}\begin{displaymath}\begin{array}{\vert\vert r\vert\vert c\vert c\ve... ...ac{4}{5} & \frac{4}{5} \\ \hline \hline \end{array}\end{displaymath} \end{table}$

Virginia está muy descontenta consigo misma, $\mbox{\it CD}(V,V)=\frac{1}{2}$ , porque los tres chicos que elegiría más la prefieren a ella menos que a las demás.

Sírvame como disculpa de la banalidad de este ejemplo, el mencionar que corresponde a un planteamiento típico de los problemas dichos de ``Matrimonios Estables'' (en inglés ``Stable Marriage Problems''), los cuales aparecen frecuentemente como problemas de planeación. Si se piensa que los chicos son ``clientes'' y las chicas ``servidores''⁷ entonces se ha de buscar una asignación donde los clientes y los servidores creen entre ellos los mínimos conflictos posibles, si hubiese que crearlos. En algunas aplicaciones, los clientes y los servidores son ``clientes de una empresa'' y ``funcionarios de la empresa'', respectivamente, o bien ``clientes en colas'' y ``despachadores de las colas'', o bien ``tareas'' y ``procesadores'', o bien ``tesistas'' y ``directores de tesis'', o bien ``cursos'' y ``aulas'', o bien ``aspirantes a ingresar al bachillerato'' y ``escuelas de bachilleres disponibles'', etc. $\Box$

Si R es una relación difusa en $X\times Y$ , entonces todo conjunto difuso B en Y determina un conjunto difuso $A=B\circ R$ en X como $A=B\circ R:x\mapsto \mathop{\rm Max}\{R(x,y)\diamond B(y)\vert y\in Y\}$ . A se dice ser la composición de R con B.