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Geodésicas

Una línea recta en el espacio euclidiano es tal que cualquier vector tangente en ella se transporta de manera paralela en ella. Generalizando esta propiedad se define: Sea $\Gamma$ una curva en una $C^k$-variedad $M$, con parametrización $\gamma:\mathbb{R}\to M$. Se dice que $\gamma$ es una geodésica si su vector tangente a $\Gamma$, o sea su derivada covariante respecto a $\Gamma$, satisface la ecuación de transporte paralelo (8.2), que renombrando índices queda:

$$\forall k\in[\![0,n-1]\!]:\ D^2_{\Gamma}(\gamma_k)\, + \sum_... ...}^{n-1} c_{i,jk}D_{\Gamma}(\gamma_i)D_{\Gamma}(\gamma_j) = 0.$$ (9.1)

llamada ésta la ecuación geodésica. Puede verse que si $\gamma$ es una geodésica, lo será también cualquier parametrización de la forma $t\mapsto\gamma(at+b)$, con $a\in\mathbb{R}-\{0\}$, $b\in\mathbb{R}$.

Las geodésicas pueden ser utilizadas para poner en correspondencia al espacio tangente $T_p$ en un punto $p\in M$ con una vecindad de $p$. En efecto, dado ${\bf u}\in T_p$ sea $\gamma:\mathbb{R}\to M$ una solución de la ecuación geodésica (9.1) que cumpla con la condición inicial $D_{\Gamma}(\gamma)(0)={\bf u}$. Entonces se define $\Phi({\bf u})=\gamma(1)$. La aplicación $\Phi:T_p\to M$ está bien definida y realiza a $\mbox{dom}(\Phi)$ como una vecindad $\Phi(\mbox{dom}(\Phi))$ de $p$. Los puntos en $T_p$ que no estén en $\mbox{dom}(\Phi)$ son singularidades.

De manera similar a la ecuación geodésica (9.1), un vector de Killing es un elemento ${\bf v}$ tal que

$$\sum_{i,j\in[\![0,n-1]\!]} (\nabla_iv_j + \nabla_jv_i)=0.$$

Para un tal vector, a lo largo de una geodésica $\gamma$ se ha de tener que $\left\langle D_{\Gamma}(\gamma) \vert {\bf v} \right\rangle = \sum_{i=0}^{n-1}D_{\Gamma}(\gamma_i)v_i$ es constante.

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