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Ejemplo: Ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell.

Sean $B,E,J:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ campos vectoriales magnético, eléctrico, y de corriente, respectivamente y sea $\rho:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ el campo escalar de densidad de carga. Las ecuaciones de Maxwell son

$$\begin{array}{c@{\hspace{3em}}c} \begin{array}{rcl} \nabla\t... ...rtial_tB &=& 0 \\ \nabla\cdot B &=& 0 \end{array}\end{array}$$ (4.3)

donde $\nabla = [\partial_x\ \ \partial_y\ \ \partial_z]^T$. Así, $\nabla\times$, $\nabla\cdot$ son los operadores rotacional y divergencia respectivamente. Como acordamos desde un principio usemos $(x_0,x_1,x_2)=(x,y,z)$ para nombrar a las coordenadas espaciales y $x_3=t$ a la temporal.

Al hacer $F_i =\left[\varepsilon_{ijk}\right]_{j,k\in\{0,1,2\}}$ se tiene $\nabla\times B=\left[\nabla^TF_iB\right]_{i\in\{0,1,2\}}$. Ampliemos los vectores como

• $\nabla = [\partial_0\ \ \partial_1\ \ \partial_2\ \ \partial_3]^T$,
• $B=[b_0\ \ b_1\ \ b_2\ \ 0]^T$,
• $F =\left[\alpha_{ijk\ell}\right]_{i,j,k,\ell\in\{0,1,2,3\}}$, donde $\alpha_{ijk\ell}=\varepsilon_{ijk}$ si $i,j,k\in\{0,1,2\}$ y $\alpha_{ijk\ell}=0$ en otro caso, por tanto $\nabla\times B$ se expresa como un tensor $(\nabla,B)\mapsto F(\nabla,B)$,
• $E=[e_0\ \ e_1\ \ e_2\ \ 0]^T$,
• se tiene $\nabla^T[0\ \ 0\ \ 0\ \ 1] = \partial_t$ y $\nabla^T[1\ \ 1\ \ 1\ \ 0] = \partial_x+\partial_y+\partial_z$ es el operador divergencia $\nabla\cdot$,
• $J=[j_0\ \ j_1\ \ j_2\ \ \rho]^T$,

y en consecuencia las dos ecuaciones a la izquierda de (4.3) se plantean como un sistema de la forma

$$\forall i\in[\![0,3]\!]:\ G^{\mbox{\scriptsize izq}}_i(\nabla;B,E)=4\pi J_i$$ (4.4)

Similarmente las dos ecuaciones a la derecha de (4.3) como un sistema

$$\forall i\in[\![0,3]\!]:\ G^{\mbox{\scriptsize der}}_i(\nabla;B,E)=0.$$ (4.5)

Ahora bien, el sistema (4.5) puede plantearse como una ecuación de la forma d$G=0$ para un cierto tensor $G$ que, en consecuencia, ha de ser cerrado. En el espacio de Minkowski, todo tensor cerrado es exacto, por tanto, ha de existir un tensor $H$ tal que $G=\mbox{d}H$. El tensor $H$ se llama potencia vectorial, en particular, su componente temporal es la potencia escalar.

Las ecuaciones (4.4) pueden ser planteadas de la forma $\mbox{d}(\star G) =4\pi (\star J)$.

Debido a (4.2), se tiene que las ecuaciones tensoriales son invariantes bajo las transformaciones $T\mapsto \star T$ y $\star T\mapsto -T$.

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