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Formas diferenciales

Sea $n\in\mathbb{Z}^+$ un entero positivo. $\mathbb{R}^n$ es un espacio vectorial real de dimensión $n$. Los tensores en $\mathbb{R}^n$ se construyen como en la sección 1.3 sustituyendo $\mathbb{R}^4$ por $\mathbb{R}^n$ y las dimensiones 4 y 3 por $n$ y $n-1$ respectivamente.

Una $k$-forma diferencial es un $(0,k)$-tensor alternante. Sea $\Lambda^k(\mathbb{R}^n)$ la colección de $k$-formas diferenciales sobre $\mathbb{R}^n$. Entonces puede verse que $\Lambda^k(\mathbb{R}^n)$ es un espacio vectorial real y una base de él es $\left({\bf e}_I\right)_{I\in[\![0,n-1]\!]^{(k)}}$, donde

$$I=\{i_0,\ldots,i_{k-1}\}\ \Longrightarrow\ {\bf e}_I={\bf e}_{i_0}\otimes\cdots\otimes{\bf e}_{i_{k-1}}.$$

Por tanto $\dim\left(\Lambda^k(\mathbb{R}^n)\right) = {n\choose k}$.

Si $T$ es una $k$-forma diferencial y $S$ es una $\ell$-forma diferencial entonces el producto exterior $T\land S$ es el antisimetrizador del producto tensorial $T\otimes S$ y es una $(k+\ell)$-forma diferencial.

Específicamente, si $I\in[\![0,n-1]\!]^{(k)}$ es un conjunto de $k$ índices y $J\in[\![0,n-1]\!]^{(\ell)}$ es uno de $\ell$, entonces definimos $\rho(I,J)=0$ si $I\cap J=\emptyset$ o bien como el signo de la permutación $I*J$ en otro caso. Pues bien, si $T=\sum_{I\in[\![0,n-1]\!]^{(k)}} T_I{\bf e}_I$ y $S=\sum_{K\in[\![0,n-1]\!]^{(\ell)}} S_J{\bf e}_J$ entonces $T\land S=\sum_{K\in[\![0,n-1]\!]^{(k+\ell)}} U_K{\bf e}_K$ donde $U_K = \sum_{I\cup J = K}\rho(I,J)T_IS_J.$ Resulta entonces:

$$T\in\Lambda^k(\mathbb{R}^n)\ ,\ S\in\Lambda^{\ell}(\mathbb{R}^n)\ \Longrightarrow\ T\land S=(-1)^{k\ell}S\land T.$$

Un vector es propiamente una 1-forma diferencial. Por esto, las $k$-formas diferenciales se dicen ser $k$-vectores.

Viendo al operador ``derivada'' como un vector abstracto $[\partial_0\ \ldots\ \partial_{n-1}]^T$, dada una $k$-forma diferencial $T=\sum_{I\in[\![0,n-1]\!]^{(k)}} T_I{\bf e}_I$, su derivada exterior es la $(k+1)$-forma diferencial

$$\mbox{\rm d}T=\sum_{i\in[\![0,n-1]\!]}\sum_{I\in[\![0,n-1]\!]^{(k)}} \rho(\{i\},I)\ \partial_iT_I{\bf e}_{I \cup\{i\}}.$$ (4.1)

Si las componentes $T_I$ son de clase $C^2$, entonces cualesquiera que sean $i,j$, $\partial_i\partial_jT_I = \partial_j\partial_iT_I$ y, debido a la alternancia, se ha de tener $\mbox{\rm d}\mbox{\rm d}T=0$. Es decir, $\mbox{\rm d}^2=0$.

Una $k$-forma $T$ se dice ser cerrada si $\mbox{\rm d}T=0$ y exacta si existe una $(k-1)$-forma $S$ tal que $T=\mbox{\rm d}S$. Como $\mbox{\rm d}^2=0$, toda forma exacta es cerrada. Sea $C^k(\mathbb{R}^n)$ el espacio vectorial de $k$-formas cerradas y sea $B^k(\mathbb{R}^n)$ el de $k$-formas exactas. El cociente $H^k(\mathbb{R}^n)=C^k(\mathbb{R}^n)/B^k(\mathbb{R}^n)$ se dice ser de la $k$-ésima cohomología de Rham.

El operador ``estrella'' de Hodge es una aplicación que transforma $k$-tensores en $(n-k)$-formas. Para un $k$-tensor $T$ se define

$$\forall {\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^{n-k}:\ S_{\bf i} = \frac{\mb... ...}\in[\![0,n-1]\!]^{k}} \varepsilon_{{\bf j};{\bf i}}T_{{\bf j}}$$

donde $\varepsilon_{{\bf j};{\bf i}}$ es el símbolo de Levi-Civitá, y entonces se hace $(\star T) = \left(S_{\bf i}\right)_{{\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^{(n-k)}}$.

Si $T$ es una $k$-forma diferencial y consideramos a $(\star T)$ como una $(n-k)$-forma diferencial se tiene

$$\forall I\in[\![0,n-1]\!]^{(n-k)}:\ (\star T)_I = \frac{\mbox{sgn}(M)}{k!}\rho(I^c,I) T_{I^c}.$$

Se tiene que para toda $k$-forma diferencial $T$ se cumple

$$\star \star T = (-1)^{k(n-k)}\mbox{sgn}(\det M)\ T.$$ (4.2)

Si $T$ y $S$ son formas diferenciales de órdenes respectivos $k$ y $n-k$, entonces $T\land S$ es una $n$-forma diferencial y, en consecuencia $\star (T\land S)$ es una $0$-forma diferencial, o sea es una constante.

Para $n=3$ la función $(T,S)\mapsto\star (T\land S)$ definida sobre las $1$-formas diferenciales, es decir sobre los vectores, coincide propiamente con el producto vectorial o cruz de los vectores.

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