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Sumatoria sobre una RED.

Si $\Omega $ es cualquier red y $ {\cal F} (z)$ cualquier función de una variable compleja, denotamos por :

\begin{displaymath}\sum_\Omega {\cal F} (\omega)
\end{displaymath}

la sumatoria de $ {\cal F} (\omega)$ sobre los elementos $\omega\in\Omega$. Y por

\begin{displaymath}\sum_\Omega \ ' {\cal F} (\omega)
\end{displaymath}

la suma sobre todos los elementos de $\Omega $ diferentes de cero, es decir, igual a la sumatoria anterior, pero el término $\omega=0$ es omitido.

Teorema 2   Para cualquier red $\Omega $ y cualquier entero n>2,

 \begin{displaymath}S_n(\Omega) = \sum_\Omega \ '\omega^{-n}
\end{displaymath} (1.6)

converge absolutamente.

Si $\Omega $ es una red doble, los puntos de la red pueden ser distribuidos en conjuntos quedando sobre los perímetros de una secuencia de paralelogramos concéntricos, similar a la celda unidad, aquellos sobre el r-ésimo perímetro existen de la forma $p\omega_1 +q\omega_2$, donde $\mid p\mid $, $\mid q\mid$ ambos $\leq r$, y al menos uno de ellos igual a r.

Las cantidades $S_n(\Omega)$ definida como en 1.6, claramente satisface la propiedad de homogeneidad:

\begin{displaymath}S_n(k\Omega) = k^{-n}S_n(\Omega)
\end{displaymath}

para todos los enteros n>2. Luego si n es impar $S_n(\Omega)=0$ para cualquier red $\Omega $, ya que $\Omega = -\Omega$, entonces

\begin{displaymath}S_n(-\Omega)=S_n(\Omega)=-S_n(\Omega).
\end{displaymath}

De manera similar si $\Omega $ es una red cuadrada como $\Omega = i\Omega$, cumple que $S_n(\Omega)=0$ para todo n que no es divisible por 4.


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Microcomputadoras
2001-03-09