Sumatoria sobre una RED.

Si $\Omega$ es cualquier red y ${\cal F} (z)$ cualquier función de una variable compleja, denotamos por :

$$\sum_\Omega {\cal F} (\omega)$$

la sumatoria de ${\cal F} (\omega)$ sobre los elementos $\omega\in\Omega$. Y por

$$\sum_\Omega \ ' {\cal F} (\omega)$$

la suma sobre todos los elementos de $\Omega$ diferentes de cero, es decir, igual a la sumatoria anterior, pero el término $\omega=0$ es omitido.

Teorema 2   Para cualquier red $\Omega$ y cualquier entero n>2,

$$S_n(\Omega) = \sum_\Omega \ '\omega^{-n}$$ (1.6)

converge absolutamente.

Si $\Omega$ es una red doble, los puntos de la red pueden ser distribuidos en conjuntos quedando sobre los perímetros de una secuencia de paralelogramos concéntricos, similar a la celda unidad, aquellos sobre el r-ésimo perímetro existen de la forma $p\omega_1 +q\omega_2$, donde $\mid p\mid$, $\mid q\mid$ ambos $\leq r$, y al menos uno de ellos igual a r.

Las cantidades $S_n(\Omega)$ definida como en 1.6, claramente satisface la propiedad de homogeneidad:

$$S_n(k\Omega) = k^{-n}S_n(\Omega)$$

para todos los enteros n>2. Luego si n es impar $S_n(\Omega)=0$ para cualquier red $\Omega$, ya que $\Omega = -\Omega$, entonces

$$S_n(-\Omega)=S_n(\Omega)=-S_n(\Omega).$$

De manera similar si $\Omega$ es una red cuadrada como $\Omega = i\Omega$, cumple que $S_n(\Omega)=0$ para todo n que no es divisible por 4.