Propiedades de funciones elípticas.

Si ${\cal F} (z)$ es una función elíptica, entonces las únicas singularidades posibles de ${\cal F}$ son un número finito de polos en cada paralelogramo-periódico. Podemos por tanto elegir un paralelogramo-periódico de tal forma que no tenga polos sobre los lados del mismo, con $\mbox{Im}\ \omega_2 /\omega_1 >0.$

Teorema 4 (Liouville.)   Este declara que cualquier función la cual es analítica y acotada en el plano completo es una constante.

Teorema 5   No hay funciones enteras doble periódicas^2.2.

Teorema 6   Si dos funciones elípticas tienen la misma red de periodos, las mismas clases residuo de polos, y las mismas clases residuo de ceros, de el mismo orden en cada caso, el cociente de las dos funciones es una constante diferente de cero.

Teorema 7   Si dos funciones elípticas tienen la misma red de periodos, y las mismas clases residuo de polos, con igual parte infinita en cada polo, las funciones difieren por una constante.

Teorema 8   Sea ${\cal F} (z)$ una función elíptica con la red $\Omega$ de periodos, zeros de orden $m_1,\ldots ,m_h$ en las clases residuo $a_1+\Omega,\ldots ,a_h+\Omega$, y polos de orden $n_1,\ldots ,n_k$ en las clases residuo $b_1+\Omega ,...,b_k+\Omega$, con residuos r₁,...,r_k respectivamente.Entonces

    i)

$\sum_{j=1}^k r_j = 0$

    ii)

$\sum_{j+1}^h m_j = \sum_{j+1}^k n_j$

    iii)

$\sum_{j=1}^h m_j a_j \equiv \sum_{j=1}^k n_j b_j (mod\ \Omega)$

 

El primer punto es conocido como el teorema del residuo. El punto ii puede ser entendido como: ``Una función elíptica no constante tiene tantos polos como ceros''. Así que el orden de una función elíptica puede redefinirse como el número de ceros en un paralelogramo-periódico.

Teorema 9   La suma de los ordenes de los polos de una función doble periódica en un paralelogramo-periódico es, al menos, 2.

De aquí podemos concluir que el orden menor de una función elíptica es 2.

Nos parece apropiado en este momento, mencionar los dos tipos más simples de funciones elípticas:

1.

Funciones con un único polo de orden 2, en el cual la parte principal es de la forma

$$\frac{c}{(z-a)^2}$$

en cada paralelogramo-periódico. Un ejemplo de estas funciones es la $\wp (z)$ de Weierstrass.

2.

Funciones con dos polos simples cuya parte principal esta conformada por

$$\frac{c}{(z-a)} \quad\quad \mbox{y} \quad\quad \frac{-c}{(z-a)}$$

en cada paralelogramo-periódico. Las funciones de Jacobi sn(u), cn(u), dn(u) son un ejemplo de éstas.

Teorema 10   Si a_j y b_j son los ceros y los polos de una función de doble periodo en un paralelogramo-periódico, entonces

$$\sum a_j -\sum b_j = \omega$$

donde $\omega$ es periodo, y donde cada a_j y b_j son contados de acuerdo a su multiplicidad.