$\Omega$ rectangular

Sea $\omega_1$ real y $\omega_2$ imaginario puro. $\wp (z)$ es real sobre todos los lados de los rectángulos formando la red $\Omega$ de medios-periodos. Como z describe continuamente el perímetro de cualquier rectángulo, de z=0 a $z=\omega_1$, luego para $z=\omega_1 + \omega_2 = -\omega_3$, después para $z=\omega_2$, y finalmente regresando a z=0, la $\wp (z)$ varía continuamente a través de valores reales exclusivamente, desde $\infty$ hasta $-\infty$; por lo tanto debe asumir cada valor real sólo una vez en el curso de la variación. Ya que la trayectoria no contiene dos valores distintos de z; z' satisface que $z\pm z' \equiv 0 \;(\mbox{mod}(2\Omega))$. Por lo tanto la variación es un decremento uniforme de $\wp (z)$ a través de valores reales. Conforme z varia en el perímetro a través de los valores $z = \frac{1}{2}\omega_1, \omega_1, \omega_1 + \frac{1}{2}\omega_2, -\omega_3, \frac{1}{2}\omega_1 + \omega_2, \omega_2, \frac{1}{2}\omega_2$ tenemos e₁ + d₁ > e₁ > e₂ - d₂ > e₃ > e₁ - d₁ > e₂ > e₂ + d₂, todos estos valores son reales (como $e_1 > e_3 > e_2, \; d_1^2, d_2^2$ ambos son positivos, las raíces cuadradas de d₁, d₂, como están definidas, son positiva y negativa respectivamente; d₃² a su vez es negativa, así que la $\wp(\frac{1}{2} \omega_1 + \frac{1}{2} \omega_2) = e_3 +d_3$, $\wp(\frac{1}{2}\omega_1 - \frac{1}{2}\omega_2) = e_3 - d_3$ son imaginarios conjugados).

Además un resultado curioso es que si Re(z) es la mitad de un múltiplo impar de $\omega_1$, $\vert\wp(z)- e_1 \vert = d_1$; si $z - \frac{1}{2}k\omega_1$ es un imaginario puro y k es un entero impar, entonces la $Re(z+z) = k\omega_1$, es decir $\overline{z}\equiv\omega_1 - z$ (mod ($2\Omega$)) y $\vert\wp(z)- e_1 \vert^2 = (\wp(z)- e_1)(\wp(\overline{z})-e_1) = d_1^2$. Similarmente $z - \frac{1}{2}k\omega_2$ es real, donde nuevamente k es un entero impar, $\vert\wp(z) - e_2\vert = -d_2$, ya que $\overline{z}\equiv\omega_2 - z$ (mod ($2\Omega$)).

Las regiones de valores reales de la $\wp (z)$ en el plano Z son las líneas horizontales y verticales a través de todos los puntos de la red $2\Omega$, y también las líneas horizontales y verticales que están en medio de éstas. Sobre las primeras horizontales los valores de $\wp (z)$ oscilan entre $+\infty$ y el mínimo e₁, y sobre las otras horizontales oscilan entren $\max(e_3)$ y el $\min(e_2)$; sobre las primeras líneas verticales oscilan entre $-\infty$ y el $\max(e_2)$ y sobre las otras verticales entre el $\max(e_1)$ y el $\min(e_3)$. Note que cada valor estacionario es un valor máximo real sobre la línea horizontal o vertical que pasa por el punto estacionario, y un mínimo sobre el otro.