Defecto en masa

Esta vez analizaremos el comportamiento de una red unidimensional, cuando una de sus masas, la hacemos variar entre sus dos límites posibles, es decir, desde un valor igual a cero, hasta un valor muy grande y en el límite que tienda a infinito; permaneciendo las demás masas constantes. Consideremos que cada una de las masas de las partículas de la cadena, tenga un valor igual a $m$, excepto la partícula $i$, que corresponde al defecto y que tiene un valor $M$, también hacemos que todas las constantes de resorte sean iguales a $k$, en otras palabras, se trata de una cadena homogénea con excepción de la partícula $i$. Si introducimos la notación

$$a = \frac{k}{M}$$ (III.28)

la Matriz de Transferencia para la partícula $i$ es

$$\left[ \begin{array}{ccc} \frac{\lambda + 2a}{a} & -1 \\ \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$ (III.29)

para las demás partículas, todas las matrices tienen la forma de (III.4). Si suponemos que a la izquierda del defecto hay $L$ partículas y a la derecha $N-L-1$, como se muestra en la figura siguiente

como siempre, se pueden tener distintas condiciones a la frontera, pero en la parte anterior ya hemos visto el tratamiento para las distintas clases de condiciones, entonces por ahora supondremos que la cadena tiene extremos fijos. Así la matríz que describe el movimiento de toda la red la podemos escribir como

$$\tau \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\lambda - a_{0}}{a_{1... ... a_{0}}{a_{1}} & -1 \\ \\ 1 & 0 \end{array} \right]^{L}$$ (III.30)

pero es posible escribir (III.29) como

$$\left[ \begin{array}{ccc} \frac{\lambda + 2a}{a} & -1 \\ ... ...y}{cc} \varepsilon & 0 \\ \\ 0 & 0 \end{array} \right]$$ (III.31)

donde

$$\varepsilon = \lambda(\frac{1}{a} - \frac{1}{a_{1}})$$ (III.32)

sustituyendo (III.31) en (III.30) se tiene

$$\tau = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\lambda - a_0}{a_1} ... ...- a_0}{a_1} & -1 \\ & \\ 1 & 0 \end{array} \right]^{L}$$

Podemos evaluar fácilmente las potencias de las matrices recordando que

$$\frac{\lambda - a_{0}}{2a_{1}} = \mbox{cosh} \ \varphi$$

se tiene entonces

$$\left[ \begin{array}{ccc} \frac{\lambda - a_0}{a_1} & -1 ... ...hi & -\mbox{senh} \ (N - L - 2) \varphi \end{array} \right]$$

$$\left[ \begin{array}{ccc} \frac{\lambda - a_0}{a_1} & -1 ... ... \varphi & -\mbox{senh} \ (L - 1)\varphi \end{array} \right]$$

donde la primera matriz, representa el comportamiento de un segmento de la cadena original a la derecha del defecto, y la segunda el de un segmento a la izquierda. Haciendo uso de (III.16) y de las Ecs. de arriba, $\tau$ tiene la forma

$$\tau = \frac{1}{\mbox{senh}} \ \varphi \left[ \begin{array}... ...varphi & -\mbox{senh} \ (N + 1) \varphi \end{array} \right]$$

$$\frac{+ \epsilon}{\mbox{senh}^{2} \ \varphi} \left[ \begin... ...L-1) \ \varphi \ \mbox{senh} L \ \varphi \end{array} \right]$$

entonces la condición que determina las frecuencias para este modelo es

$$\frac{\mbox{senh} (N+1)\varphi}{\mbox{senh} \ \varphi} + \... ...hi} \ \mbox{senh}(N-L)\varphi \ \mbox{senh}(L+1) \varphi = 0$$ (III.33)

nuevamente como

$$\mbox{senh}\varphi \neq \infty$$

es posible escribir (III.33) de la siguiente forma

$$\frac{\mbox{senh}(N+1)\varphi}{\frac{\mbox{senh}(N-L)\varphi \ \mbox{senh}(L+1)\varphi}{\mbox{senh} \varphi}} = - \epsilon$$

finalmente si hacemos uso de (III.32) y de las expresiones para $a$ y $a_1$, la Ec. de arriba queda

$$\frac{\mbox{senh}(N+1)\varphi}{\frac{\lambda \ \mbox{senh}... ...{senh} \ \varphi}} = - \frac{M-m}{k} \eqno{(\mbox{III.33}')}$$

la interpretación que podemos hacer de la fracción racional de arriba es la siguiente, las raíces del numerador corresponden, salvo un factor, a las frecuencias de la cadena sin modificaciones, y los ceros del denominador o polos de la fracción corresponden a las frecuencias de tres cadenas, una con $L$ partículas, otra de $N-L-1$ y la de la masa modificada. Las intersecciones de la fracción racional y la constante que aparece a la derecha de (III.33$'$) nos proporcionan las frecuencias posibles para la red con un defecto en masa. La fig. (3.1) nos muestra la gráfica de la función dada por (III.33$'$)

Figura 3.1:

Si analizamos los dos límites posibles de $M$, es claro de la gráfica, que cuando $M$ crece, las frecuencias disminuyen, esto se debe a que todos los eigenvalores son negativos, que es un resultado ya esperado, porque si aplicamos el Teorema de Gerschgorin a nuestra matriz de movimiento, hallaremos que el intervalo posible para nuestros eigenvalores es negativo. En el límite cuando $M \rightarrow \infty$, las intersecciones de la fracción racional y la constante, ocurren en los polos, lo que nos indica que la cadena se separa en dos, con $N - 1$ partículas en total y la masa modificada actúa como un extremo confinante, además todas las frecuencias disminuyen a su valor mínimo, y una de ellas en el límite tiende a cero. Cuando la constante es cero, la intersección es precisamente en las raíces que corresponden a la cadena sin modificación, que es de esperarse ya que en este caso $M = m$ Finalmente si $M \rightarrow 0$, las frecuencias van a aumentar hasta un cierto valor que corresponderá a $M = 0$, ellas van a estar dadas por la intesección de la asíntota $m/k$ con la fracción racional, excepto una frecuencia que tiende a ser infinita. En este último límite, desde el punto de vista físico lo que sucede es que la partícula no existe, entonces los dos resortes que originalmente estaban ligados a la partícula se unen directamente, dando lugar a que un grado de libertad se pierda y se tenga un resorte con constante $k_{i}= k/2$, lo anterior se puede mostrar si efectuamos el producto de las tres siguientes Matrices de Transferencia

$$\left[ \begin{array}{cc} \frac{M}{k}\lambda + 2 & -1 \\ ... ...c{m}{k}\lambda + 2 & -1 \\ \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$

que corresponden a las partículas, vecina derecha del defecto, el defecto y la vecina izquierda respectivamente. Se encuentra que se obtiene el mismo resultado cuando hacemos $M = 0$ en el producto de arriba, que el de multiplicar las siguientes matrices

$$\left[ \begin{array}{cc} \frac{m}{k}\ \ \lambda+ \frac{1}... ...}{k}\lambda + 2 +1 & -2 \\ \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$

que representan a las partículas vecinas del defecto unidas por una constante elástica $k/2$ La ilustración de los resultados anteriores, de lo que sucede en el espectro de una red unidimensional homogénea con un defecto puntual en masa, para los dos límites posibles, lo hace la Fig. (3.2), obtenida mediante la diagonalización de la Matriz de Movimiento, variando la masa de la partícula 4 de una red de 8 partículas, desde un valor pequeño hasta uno grande; es clara la transición suave que ocurre entre los dos límites del valor de la masa. Desde el punto de vista físico, se espera que los Modos Normales tengan el siguiente comportamiento: para el caso en que $M$ es muy pequeña, se pierde un grado de libertad, entonces se tiene un Modo Normal, llamado localizado en el defecto, cuya frecuencia es muy grande y en el límite llega a ser infinita; en tal límite sólo la partícula ligera se excita. Para los otros modos, el desplazamiento de la partícula es un promedio del que tienen sus vecinos. En el otro límite, es decir, cuando $M$ es muy grande, difícilmente se mueve la partícula, dando lugar a que la cadena se divida en dos, las cuales tienen un extremo confinado debido a la inmovilidad de la partícula a la que estan unidas, y para la frecuencia muy baja, el modo correspondiente es aquel en el que la partícula hace que las demás partículas vibren como ella lo hace.

Figura 3.2: Gráfica del negativo del cuadrado de las frecuencias naturales de una cadena homogenea de 8 partículas, en la que se modifica sistemáticamente la masa de la partícula 4, donde el eje Y corresponde a dicho parametro.

Después de haber diagonalizado la Matriz de Movimiento, se han obtenido los eigenvectores correspondientes, La fig. (3.3) nos muestra la gráfica en perspectiva de todos ellos, donde el eje $x$ corresponde al número de partículas, la parte ``negativa'' de y es la variación del parámetro, esta vez la variación de la masa de una de las partículas, y el eje $z$ nos represente la amplitud de vibración. Las gráficas ilustran el comportamiento esperado y que se ha descrito arriba, se observa también la transición suave que existe en los Modos al pasar de un límite al otro, empezando por el menor y ascendiendo hasta llegar al límite alto, pasando por el comportamiento de una cadena homogénea, que ocurre en el centro de cada Modo; a la izquierda se tienen los Modos Opticos en orden descendente y a la derecha se muestran los Acústicos en el mismo orden. En el Apéndice A, se describen brevemente y se muestran los listados de las Subrutinas empleadas para diagonalizar las distintas Matrices que nos representan los diferentes modelos de cadenas, y además para obtener los correspondientes Eigenvectores. En el B se tiene el listado de un Programa Principal llamado TRIIR y las diferentes subrutinas empleadas para obtener las gráficas de los Modos Normales, es único y fué utilizado para todos los Modelos . Finalmente en el C el Programa Principal llamado TRIVM, que hace las variaciones en la masa.

Figura 3.3: