Defecto en la constante elástica

Ahora deseamos hacer una modificación similar a la del caso anterior, sólo que ahora es en una de las constantes elásticas, esta vez también tenemos dos límites posibles, uno cuando $K\rightarrow 0$ y el otro cuando $K\rightarrow \infty$. Nuevamente consideramos una cadena homogénea con extremos fijos, excepto por la liga que une a las partículas $i$ e $i+1$, que tiene un valor distinto al de las demás, denotémos por

$$K = k (1 + \epsilon)$$ (III.34)

así las Matrices de Transferencia para dichas partículas son

$$\left[ \begin{array}{ccc} \frac{\frac{\lambda-a_{0}}{a_{1... ... & \\ 1 & 0 \end{array} \right] \qquad \mbox{para la } i$$

y

$$\left[ \begin{array}{ccc} \frac{\lambda-a_{0}}{a_{1}} + \... ... & \\ 1 & 0 \end{array} \right] \qquad \mbox{para } i + 1$$

si las denotamos por $T_{i}$ y $T_{i+1}$ respectivamente, es posible escribirlas de la siguiente forma

$$T_{i} = \frac{1}{1+\epsilon} \left[ \begin{array}{ccc} \fr... ...ft[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$

y

$$T_{i + 1} = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\lambda-a_{0}}... ...{array}{ccc} 1 & -1 \\ & \\ 0 & 0 \end{array} \right]$$

observamos que la primera parte de cada una de las Matrices de arriba, corresponde a una partícula perteneciente a una cadena homogénea; efectuemos el producto $T_{i+1}$ $T_{i}$

$$T_{i + 1} \ \ T_{i} = \left(\left[ \begin{array}{ccc} \fra... ...}{ccc} 1 & 0 \\ & \\ 1 & 0 \end{array} \right]\right)$$

$$\quad = \frac{1}{1+\epsilon} \left[ \begin{array}{ccc} \fr... ...n{array}{ccc} 0 & 0 \\ & \\ 0 & 0 \end{array} \right]$$

finalmente

$$T_{i+1} \ T_{i} = \frac{1}{1+\epsilon} \left[ \begin{array}... ..._{0})}{a_{1}}-2 & -1 \\ & \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$

si a la primera parte la denotamos por $T^{2}$ y a la segunda por $Q$, en forma concisa queda

$$T_{i+1} \: T_{i} = \frac{1}{1 + \epsilon} (T^{2} + \epsilon Q)$$

Así $\tau$ esta vez tiene la forma

$$\tau = T^{N-i-1} \left[\frac{1}{1+\epsilon}(T^{2} + \epsilon Q)\right] T^{i-1}$$

o también

$$\tau = \frac{1}{1+\epsilon} \ T^{N} + \frac{\epsilon}{1+\epsilon} \ T^{N-i-1} Q \ T^{i-1}$$ (III.35)

la Ec. de Eigenvalores en este caso es

$$\frac{T_{11}^{N}}{Q_{11}} = -\epsilon$$ (III.36)

donde $T^{N}_{11}$ es el elemento (1,1) de $T^{N}$ y $Q_{11}$ de $T^{N-i-1} \ Q \ T^{i-1}$ Nuevamente tenemos una fracción racional igual a una constante, donde las raíces del numerador corresponden a las de una cadena homogénea de $N$ partículas y las $Q_{11}$ a las de una con $N - 1$, una de las cuales tiene como masa la suma de las dos, estas originalmente estaban ligados por el resorte modificado. Como antes las frecuencias posibles para este modelo, están dadas por las intersecciones de la fraccón racional y la constante $\epsilon$. La fig. (3.4) muestra el comportamiento de las frecuencias para este defecto.

Figura 3.4:

El análisis de la gráfica muestra que cuando $\epsilon \rightarrow \infty$, las intersecciones de las curvas son tales que todas, menos una, se acercan a los polos, que corresponden a las frecuencias de una cadena con $N - 1$ partículas, donde una de ellas tiene una masa igual al doble de la original, que era de esperarse ya que físicamente el resorte va a a ser inextensible, y entonces las partículas que liga se comportan como si fuera una sóla; arriba mencionamos que una no se acercaba a un polo, ya que de la gráfica vemos que tiende a infinito. Cuando $\epsilon = 0$ las intersecciones corresponden a las raices de una cadena homogénea. Finalmente si $\epsilon \rightarrow -1$, lo cual implica que no exista el enlace, la cadena se separa en dos partes, solo que ahora tiene extremos libres donde la liga ha desaparecido, si en el otro extremo las frecuencias crecían, ahora decrecen hasta su valor mínimo, fisicamente válido, ya que a diferencia del defecto en masa, ninguna de las frecuencias hace cero, en ninguno de los dos límites. La fig (3.5) nos ilustra los resultados mencionados arriba, se obtuvo diagonalizando la matriz de movimiento directamente, variando esta vez la constante de resorte entre las partículas 3 y 4 para una red de 8 partículas; se observa la misma transición suave de antes entre los dos extremos, sólo que la gráfica es la negativa de la real.

Figura 3.5: Gráfica del negativo del cuadrado de las frecuencias de resonancia de una cadena homogenea de 8 partículas, en la que se modifica sistemáticamente la k entre las partículas 3 y 4, la variación es en el eje vertical.

En el apéndice D se muestra el listado del programa principal diseñado para hacer la variación en la constante elástica, cuyo nombre es TRIVK: Como antes, también se obtuvieron los Modos Normales y se graficaron, la Fig. (3.6) nos muestra el comportamiento de la cadena para esta clase de defecto, podemos observar que cuando $\epsilon \rightarrow -1$, que ocurre en cada una de las partes inferiores de las figuras pequeñas, la separacón de la cadena en 2 completamente independientes, ya que éstas tienen ahí un extremo libre. Cuando $\epsilon\rightarrow 0$, el comportamiento es el de una cadena homogénea y ocurre en la parte media de cada figura. Finalmente cuando $\epsilon \rightarrow \infty$, esta vez el comportamiento se observa en las partes superiores, se ve que en el modo de más alta frecuencia, que es el de esquina superior derecha, las partículas unidas por el resorte, vibran en direcciones opuestas y las demás, no efectuan ningun movimiento, éste es el llamado Modo localizado en el defecto; en los demás modos las masas ligadas por el resorte inextensible se comportan como una sóla. También vemos la transición suave en los Modos entre los dos límites extremos, pasando por el comportamiento de una cadena homogénea, en las partes medias de cada uno. Los Modos están ordenados en la figura en orden descendente, los de la derecha son los Opticos y los de la izquierda los Acústicos. Aún cuando en ambos casos hemos derivado las Ecs. para cadenas homogéneas con un defecto para simplificar el álgebra, es claro, que los resultados son válidos para una cadena inhomogénea, masas y resortes con valores diferentes pero que al hacer la variación del defecto permanecen cons-tantes, sólo que como hemos repetido muchas veces, ahora la matriz que nos proporciona el comportamiento no es la potencia de una matriz sino un producto de todas las distintas matrices de transferencia.

Figura 3.6: