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Índice

I N T R O D U C C I Ó N


El objetivo principal de este trabajo es obtener una familiarización adecuada con el comportamiento, tanto del Espectro de Frecuencias Normales como de los Modos Normales de Vibración asociados, en Redes Unidimensionales con Interacciones a Primeros vecinos, por lo que el análisis se hace para diferentes modelos. Aún cuando los problemas reales ocurren en dos y tres dimensiones, es importante el estudio en una dimensión porque en principio, los problemas se simplifican desde el punto de vista matemático, pero es posible extender las herramientas matemáticas a los problemas más complejos. La utilidad también estriba en que a partir del Espectro se pueden obtener propiedades termodinámicas tales como el calor específico, la energía libre de Helmholtz, etc., propiedades ópticas de sólidos como la absorción o emisión de radiación electromagnética. Así mismo, existe una considerable similaridad entre el comportamiento de los electrones en semiconductores, de las ondas espinoriales en materiales magnéticos y las vibraciones en redes cristalinas. El análisis se hace mediante el uso de las llamadas Matrices de Transferencia, una técnica antigua que por ejemplo es inherente en el libro de Brillouin [1], ``Wave Propagation in Periodic Structures'' y en el trabajo de H. Matsuda [2], donde él también hace referencia a otros autores que han empleado la misma técnica. El primer capítulo se plantean las bases teóricas para el análisis de Interacciones a Vecinos Lejanos, J. Ortega y H. V. McIntosh [3] han hecho un extenso estudio para Interacciones a Segundos Vecinos. En el Cap. II se fundamentan las bases teóricas para Interacciones a Primeros Vecinos. En el tercero se analizan los diferenes modelos de cadenas, tales como la Cadena Uniforme con las diferentes condiciones a la frontera que pueden existir; la cadena con las dos clases posibles de defectos, ya sea en masa o en la constante elástica; cadena Diatómica con variación en la razón de masas y con defecto en la masa; cadenas no uniformes del tipo sencillo, como en las que su masa varía linealmente, exponencialmente y en forma de una distribución gaussiana. Los comportamientos de todos los modelos anteriores se ilustran con gráficas tanto del Espectro como de los Modos asociados, obtenidas mediante Computadora. Finalmente en el Cap. IV se obienen dos representaciones para las Matrices de Transferencia, una ``vectorial'' y otra como arcos sobre una superficie hiperbólica, que son muy similares a las representaciones de Matrices Ortogonales.


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Pedro Hernandez 2006-02-20