El objetivo principal de este trabajo es obtener una
familiarización adecuada con el comportamiento, tanto del
Espectro de Frecuencias Normales como de los Modos Normales de
Vibración asociados, en Redes Unidimensionales con Interacciones
a Primeros vecinos, por lo que el análisis se hace para
diferentes modelos.
Aún cuando los problemas reales ocurren en dos y tres
dimensiones, es importante el estudio en una dimensión porque en
principio, los problemas se simplifican desde el punto de vista
matemático, pero es posible extender las herramientas
matemáticas a los problemas más complejos.
La utilidad también estriba en que a partir del Espectro se
pueden obtener propiedades termodinámicas tales como el calor
específico, la energía libre de Helmholtz, etc.,
propiedades ópticas de sólidos como la absorción o emisión
de radiación electromagnética. Así mismo, existe una
considerable similaridad entre el comportamiento de los electrones
en semiconductores, de las ondas espinoriales en materiales
magnéticos y las vibraciones en redes cristalinas.
El análisis se hace mediante el uso de las llamadas
Matrices de Transferencia, una técnica antigua que por ejemplo
es inherente en el libro de Brillouin [1], ``Wave
Propagation in Periodic Structures'' y en el trabajo de H.
Matsuda [2], donde él también hace referencia a otros
autores que han empleado la misma técnica.
El primer capítulo se plantean las bases teóricas para el
análisis de Interacciones a Vecinos Lejanos, J. Ortega y H. V.
McIntosh [3] han hecho un extenso estudio para Interacciones
a Segundos Vecinos.
En el Cap. II se fundamentan las bases teóricas para
Interacciones a Primeros Vecinos.
En el tercero se analizan los diferenes modelos de cadenas,
tales como la Cadena Uniforme con las diferentes condiciones a la
frontera que pueden existir; la cadena con las dos clases posibles
de defectos, ya sea en masa o en la constante elástica; cadena
Diatómica con variación en la razón de masas y con defecto
en la masa; cadenas no uniformes del tipo sencillo, como en las
que su masa varía linealmente, exponencialmente y en forma de
una distribución gaussiana. Los comportamientos de todos los
modelos anteriores se ilustran con gráficas tanto del Espectro
como de los Modos asociados, obtenidas mediante Computadora.
Finalmente en el Cap. IV se obienen dos representaciones para las
Matrices de Transferencia, una ``vectorial'' y otra como arcos
sobre una superficie hiperbólica, que son muy similares a las
representaciones de Matrices Ortogonales.