Matriz de movimiento

Consideremos una cadena lineal de $N$ masas ligadas por resortes, en la que existen ligas de cada una de las partículas hasta con su K-ésimo vecino, y se supone que únicamente existen este tipo de fuerzas, la figura nos muestra dicha cadena, que puede tener sus extremos confinados, libres o una combinación.

si asumimos que la Ley de Hooke es válida, es decir, las amplitudes de vibración son pequeñas, la ecuación de movimiento para la partícula $i$ es

$$m_{i} x_{i} = \sum^{K}_{j = 1} k_{ij}(x_{i+j} + x_{i-j} - 2x_{i})$$ (I.1)

donde $k_{ij}$ corresponde a la constante de resorte que liga a las partículas $i$ y $j$, $m_{i}$ es la masa de la partícula $i$ y $x_{\ell}$ es el desplazamiento que sufre la partícula $\ell$, que en todo el análisis lo consideraremos como un desplazamiento transversal, ya que en principio, el tratamiento de este tipo de desplazamientos y los longitudinales es el mismo. Sólo que la validez de esta ecuación, está limitada para los valores de $i$ que cumplen $k + 1 \leq i \leq N - k$, ya que para las partículas de los extremos de la cadena, no existen exactamente sus $k$ vecinos, entonces para eliminar la restricción del índice, en otras palabras, establecer una ecuación que sea válida para toda partícula de la cadena, se supone que existen $k$ partículas ficticias a cada lado de la red, con desplazamientos $x_{N + k}$, $x_{N + k - 1} \cdots$, $x_{N + 1}$ y $x_{0}$, $x_{-1} \cdots$, $x_{-k-1}$, cuyos valores se postulan idénticamente cero. En forma matricial las Ecs. (I.1) son

$$\left[ \begin{array}{c} m_{1} \ddot{x}_{1} \\ m_{2} \dd... ..._{k} \\ \\ \vdots \\ \\ x_{N} \end{array} \right]$$ (I.2)

se observa que la matriz de las constantes elásticas, tiene elementos distintos de cero, únicamente en una banda de $2k+1$ diagonales, la diagonal principal está en el centro de la banda. Si definimos a $M$ como la siguiente matriz diagonal

$$M = \left[ \begin{array}{cccc} m_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 ... ... \cdot & \cdot \\ 0 & \cdots & & m_{N} \end{array} \right]$$

a $K$ como la matriz de las $k_{ij}$ y a $X$ como el vector columna de los desplazamientos de cada una de las partículas, en forma concisa la ecuación (I.2) queda

$$M \ddot{X} = K X$$ (I.3)

Desde el punto de vista algebraico, el método más simple para obtener la solución de la ecuación anterior, es multiplicar por $M^{-1}$, con lo que se tiene

$$\ddot{X} = M^{-1}K X$$ (I.4)

Si suponemos que $X$ es un eigenvector de la matriz $M^{-1} K$, se obtiene

$$M^{-1} K X = \lambda X$$ (I.5)

o también

$$\ddot{X} = \lambda X$$ (I.6)

que se reconoce como una ecuación diferencial para los modos normales de movimiento, las soluciones en términos de exponenciales complejas se conocen muy bien, pero la inconveniencia primordial del proceso anterior es que, la matriz $M^{-1} K$ no es simétrica cuando las masas de las partículas son distintas, que implica que los cálculos numéricos sean más laboriosos, aún cuando la derivación algebraica se simplifique. El obstáculo anterior se elimina si definimos

$$Y = M^{1/2} X$$ (I.7)

ya que entonces la ecuación (I.3) se puede escribir de la siguiente manera

$$\ddot{Y} = (M^{-1/2}K \ \ M^{-1/2}) Y$$ (I.8)

en donde ahora $M^{-1/2}K \ \ M^{-1/2}$ es una matriz simétrica, y gracias a ello es posible trabajar con sus eigenvalores y eigenvectores que van a ser ortogonales, los elementos de dicha matriz son de la forma

$$\frac{K_{i j}}{\sqrt{m_{i} m_{j}}}$$

De cualquier manera, la matriz que necesita ser diagonalizada es $(2K + 1)$ diagonal, que permite emplear una técnica recursiva para obtener sus eigenvalores y eigenvectores. Para evitar confusión denotemos por $A$ a la matriz $(2K + 1)$ diagonal, sin tener en cuenta si es $M^{-1} K$ ó $M^{-1/2} K$ $M^{-1/2}$ y examinemos su ecuación de eigenvalores, que es a lo que tenemos que avocarnos

$$A X = \lambda X$$ (I.9)