Matriz de transferencia

Si se escribe la ecuación anterior en términos de las componentes de $X$, se tiene

$$\lambda x_{i} = \sum^k_{j = -k} a_{i,i+j} x_{i + j}$$ (I.10)

para toda $i = 1, 2, ..., N$; ya que, como dijimos al principio

$$-(k + 1) \leq \ell \leq 0$$

$$x_{\ell} = 0 \eqno{(\mbox{I.11a})}$$

$$N + 1 \leq \ell \leq N + k$$

de (I.10) es posible escribir

$$x_{i + k} = \sum^{k - 1}_{j = -k} C_{j} X_{i + j} \eqno{(\mbox{I.11b})}$$

donde

$$C_j = -\frac{a_{i i + j}} {a_{i,i + k}} \ \ \ \ \ \ \ \ j \neq 0 \eqno{(\mbox{I.11c})}$$

y

$$C_{0} = \frac{\lambda - a_{i i}}{a_{i,i + k}}$$

Se ve que las ecuaciones (I.11b) tienen la forma de una relación de diferencia finita, que definen a $x_{i + k}$ en términos de los desplazamientos de sus $2K$ partículas antecesoras. De las muchas técnicas, para obtener la solución de sistemas lineas de ecuaciones de diferencia finita, una de las más adecuadas es establecer el sistema en forma matricial. Entonces si se añaden a las ecuaciones (I.11b) las $2K - 1$ identidades triviales.

$$x_{i + j} = x_{i + j} \ \ \ \ \ \ \ \ -k + 1 \leq j \leq k - 1$$

producen un sistema que se escribe como

$$\left [ \begin{array}{c} x_{i + k} \\ x_{i + k - 1} \\ ... ... x_{i + k -2} \\ \vdots \\ x_{i - k} \end{array} \right]$$ (I.12)

o de una manera más concisa

$$Z_{i} = T_{i} \ Z_{i - 1}$$ (I.13)

A la matriz $T_{i}$ de coeficientes es a la que se le denomina Matriz de Transferencia, debido a que mediante su uso podemos conocer el desplazamiento de la partícula $i + k$, si se conocen los desplazamientos de sus $2K$ partículas antecesoras, y es posible efectuarlo desde la partícula $1$ hasta la $N + K$, que es en realidad en lo que estamos interesados. Así se tiene

$$\begin{eqnarray*} Z_{N} & = & T_{N} Z_{N-1} \\ Z_{N - 1} & = & T_{N - 1} Z_{N-2} \\ \vdots \\ Z_{1} & = & T_{1} Z_{0} \end{eqnarray*}$$

si se efectua la cadena de sustituciones, se tiene

$$Z_{N} = T_{N} T_{N-1} \dots \; T_{1} Z_{0} = \tau Z_{0}$$ (I.14)

donde $\tau$ denota al producto de las $N$ matrices de transferencia que para una cadena arbitraria todas ellas son distintas, el producto es en el orden correspondiente a la sucesión de partículas de que está compuesta la cadena. Para una cadena uniforme, es decir, en la que todas las masas constantes de resorte son las mismas, se tiene una simplificación ya que todas las $T_1$ son iguales y por lo tanto

$$\tau = T^{N}$$ (I.15)

Es claro, que los elementos de $\tau$ son polinomios en $\lambda$, ya que cada $T_{i}$ depende en $\lambda$. Donde los vectores $Z_{N}$ y $Z_{0}$ escritos explícitamente son:

$$Z_{N} = \left[ \begin{array}{cccc} x_{N + k} \\ x_{N + k... ... x_{N} \\ \vdots \\ x_{N - k + 1} \end{array} \right]$$

$$Z_{0} = \left[ \begin{array}{cccc} x_{k} \\ x_{k - 1} \\... ...} \\ x_{0} \\ \vdots \\ x_{-k + 1} \end{array} \right]$$

ahora bien, si hacemos uso de las condiciones suplementarias (I.11a), éstos toman la siguiente forma

$$Z_{N} = \left[ \begin{array}{cccc} 0 \\ 0 \\ \vdots \\... ...\ x_{N} \\ \vdots \\ x_{N - k + 1} \end{array} \right]$$

$$Z_{0} = \left[ \begin{array}{cccc} x_{k} \\ x_{k - 1} \\... ...ots \\ x_{1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right]$$

De la ecuación (I.14) podemos escribir el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales

$$\begin{array}{ccc} \tau_{11}x_{k} + \tau_{12}x_{k-1} + \do... ...{k2} x_{k-1} + \dots + \tau_{k k} x_{1} & = & 0 \end{array}$$ (I.16)

donde cada $\tau_{i j} = \tau_{i j} (\lambda) \ \ \ \ \ \ i, j = 1,2, \dots, k$ Sabemos que existirá una solución no trivial para las $x_{1}, x_{2}, \dots , x_{k}$ si y sólo si se cumple lo siguiente

$$\left \vert \begin{array}{cccc} \tau_{11} & \tau_{12} & \... ..._{k1} & \tau_{k2} & & \tau_{kk} \end{array} \right \vert = 0$$ (I.17)

que es otra forma de establecer la ecuación característica para $A$ que era de esperarse, ya que las condiciones suplementarias, no son otra cosa que un tipo de condiciones a las frontera. Es claro que los desplazamientos iniciales $x_{k}, x_{k-1}, \dots, x_{1}$ forman un eigenvector de la submatriz de $\tau$ perteneciente al eigenvalor cero.