Matriz de movimiento

En el caso en que únicamente existen interacciones a primeros vecinos, es decir, se considera que las masas están ligadas por resortes a sus vecinos más próximos, como lo muestra la figura

la ecuación de movimiento para la partícula $i$ es

$$m_{i} \ddot{x}_{i} = -k_{i i -1} (x_{i} - x_{i-1}) -k_{i i + 1} (x_{i} - x_{i + 1})$$ (II.1)

si denotamos

$$k_{i i} = -k_{i i -1} -k_{i i + 1}$$

se tiene

$$m_{i} \ddot{x}_{i} = k_{i i -1} x_{i-1} + k_{i i} x_{i} + k_{i i + 1} x_{i + 1}$$ (II.2)

Al igual que en el Cap. anterior, suponemos que existen ahora únicamente dos partículas ficticias, una a cada lado de la red y cuyos desplazamientos son idénticamente cero, por lo que la ecuación (II.2) es válida para toda $i = 1, 2, ..., N$. Entonces el conjunto de Ecs. (II.2) dan lugar a un sistema de Ecs. diferenciales, con una matriz de coeficientes Tridiagonal, explícitamente se tiene

$$\left [ \begin{array}{c} m_{1} \ddot{x}_{1} \\ m_{2} \d... ... x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{N} \end{array} \right]$$ (II.3)

Como estamos considerando que las masa de las partículas son distintas, nos conviene hacer la transformación del capítulo anterior.

$$Y = M^{1/2} X$$ (II.4)

donde $M$ es la misma matriz diagonal de antes, y $X$ sigue siendo el vector de los desplazamientos de las partículas. Así, si $K$ es la matriz de los coeficientes elásticos, se tiene

$$\ddot{Y} = M^{-1/2} \; K \; M^{-1/2} \; Y$$ (II.5)

donde los elementos de la matriz $M^{-1/2} \;K \; M^{-1/2}$ son de la forma

$$\frac{k_{i j}}{\sqrt{m_{i} \ m_{j}}}$$ (II.6)

Si denotamos a la matriz de arriba por $A$, la Ec. de movimiento para la cadena, en el sistema de coordenadas definidas (II.4) es

$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} \left [ \begin{array}{c} y_{1} \\ ... ... y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{N} \end{array} \right]$$ (II.7)

Ahora bien, la cadena puede tener sus extremos fijos a una pared, que es como se ha considerado, pero de las Ecs. (II.2) es claro, que para analizar una cadena con sus extremos libres sólo hay que modificar los elementos $a_{11}$ y $a_{NN}$, ya que si para extremos confinados sus valores eran

$$a_{11} = -a_{12} -a_{10} \ \ a_{NN} = -a_{N,N-1} -a_{N,N+1}$$ (II.8)

ahora son

$$a'_{11} = -a_{12} \ \qquad \ \ a'_{NN} = -a_{N,N-1}$$ (II.9)

y para el caso de una combinación, es decir, un extremo libre y otro confinado, se elige una constante de (II.8) y otra de (II.9) según sea el caso. El que uno sólo tenga que modificar los elementos $a_{11}$ y $a_{NN}$ es un resultado de haber introducido las partículas ficticias. Si suponemos que $Y$ es eigenvector de $A$, se tiene

$$A Y = \lambda Y$$ (II.10)

o también

$$\ddot{Y} = \lambda Y$$ (II.11)

entonces nuestro problema consiste en obtener los eigenvalores y eigenvectores de $A$, ya que la Ec. (II.11) se reconoce como una Ec. diferencial para los Modos Normales de Vibración y los $\lambda$ son precisamente las frecuencias naturales o de resonancia para el Sistema, la resolución del problema por métodos analíticos en el caso general no es posible, excepto para el caso de una cadena homogénea, en el que sí es posible hallar la solución analítica, para los demás casos hay necesidad de utilizar métodos numéricos para obtener el espectro de frecuencias y los Modos Normales de Vibración.