Matriz de transferencia

De la Ec. (II.10) podemos escribir para el renglón $i$

$$\lambda \; y_{i} = a_{i, i -1} \ y_{i - 1} \; + \; a_{i i} \ y_{i} \; + \; a_{i, i + 1} \ y_{i + 1}$$ (II.12)

despejando $y_{i + 1}$

$$y_{i + 1} = \frac{\lambda - a_{i i}}{a_{i, i + 1}} \ y_{i} \; - \; \frac{a_{i, i -1}}{a_{i, i + 1}} \ y_{i - 1}$$

si añadimos la Ec. trivial

$$y_{i} = y_{i}$$ (II.13)

se tiene

$$\left [ \begin{array}{c} y_{i + 1} \\ y_{i} \end{array... ...[ \begin{array}{c} y_{i} \\ y_{i - 1} \end{array} \right]$$ (II.14)

la matriz

$$T_{i} = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\lambda - a_{i i}}{... ...ac{a_{i, i -1}}{a_{i, i + 1}} \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$ (II.15)

es precísamente la Matriz de Transferencia, para una red lineal con interacciones a Primeros Vecinos, ya que si conocemos $y_{i}$ y $y_{i - 1}$ podemos conocer $y_{i + 1}$ aplicando $T_{i}$ al vector, cuyas componentes son precisamente los desplazamientos de las dos partículas antecesoras a $i+1$. Es posible escribir a la Ec. (II.14) como

$$Z_{i} = T_{i} \ Z_{i - 1}$$ (II.16)

la Ec. anterior es válida para toda $i$ teniendo únicamente en cuenta que

$$y_{0} = y_{N + 1} = 0$$

entonces es posible tener la sucesión

$$\begin{eqnarray*} Z_{N} & = & T_{N} Z_{N - 1} \\ Z_{N - 1} & = & T_{N - 1} \ \ \ Z_{N - 2} \\ & \vdots & \\ Z_{1} & = & T_{1} Z_{0} \end{eqnarray*}$$

si efectuamos las sustituciones

$$Z_{N} = T_{N} T_{N-1} \dots T_{1} Z_{0} = \tau Z_{0}$$ (II.17)

Ahora bién, cada $T_{i}$ es una función de $\lambda$, ya que cada elemento es función de ella, entonces el producto de todas las Matrices de Transferencia también lo van a ser, en particular el elemento $\tau_{11}$ es un polinomio de grado $N$ en $\lambda$, que puede mostrarse multiplicando alguna de ellas, así

$$T_{i + 1} = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\lambda - a_{i ... ..., i}}{a_{i + 1, i + 2}} \\ \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$ (II.18)

$$T_{i + 2} = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\lambda - a_{i ... ...+ 1}}{a_{i + 2, i + 3}} \\ \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$ (II.19)

multiplicando $T_i$ dada por la ecuación (II,15), por $T_{i+1}$ se tiene

$$T_{i + 1} T_{i} = \left [ \begin{array}{ccc} \frac{\lambda... ...- 1}}{a_{i, i + 1}} \\ \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]$$

$$= \left[ \begin{array}{ccc} \frac{(\lambda - a_{i + 1, i ... ...}} & -\frac{a_{i, i - 1}}{a_{i, i + 1}} \end{array} \right]$$

la matriz anterior por $T_{i+2}$ resulta ser

$$\left[ \begin{array}{ccc} \frac{(\lambda - a_{i + 2, i + ... ...)}{a_{i, i + 1} \ \ \ a_{i + 1, i + 2}} \end{array} \right]$$

y así sucesivamente, llegaremos a la conclusión de que cada uno de los elementos de la matriz $\tau$, es un polinomio en $\lambda$, y es claro que $\tau_{11}$ es de grado $N$, que es lo que queríamos mostrar. Si sustituimos en (II.17) las expresiones para $Z_{n}$ y $Z_{0}$, se tiene

$$\left [ \begin{array}{ccc} 0 \\ \\ y_{N} \end{arra... ...[ \begin{array}{ccc} y_{1} \\ \\ 0 \end{array} \right]$$ (II.20)

de donde $\tau^{(N)}_{11} \ y_{1} = 0$ y como $y_{1} \neq 0$ ya que si fuera cero, implicaría que todos los desplazamientos de las partículas serían cero, que es un caso sin importancia; lo anterior se puede mostrar fácilmente, ya que de (II.16)

$$Z_{i} = T_{i} T_{i - 1} \dots T_{1} Z_{0} = \tau^{(i)} Z_{0}$$ (II.21)

explícitamente

$$\left [ \begin{array}{ccc} y_{i + 1} \\ \\ y_{i} \e... ...[ \begin{array}{ccc} y_{1} \\ \\ 0 \end{array} \right]$$

así

$$\begin{array}{ccc} y_{i + 1} & = & \tau^{(i)}_{11} \ \ y_{1} \\ & & \\ y_{i} & = & \tau^{(i - 1)}_{21} \ \ y_{1} \end{array}$$ (II.22)

entonces si $y_{1} = 0$, implica que $y_{i + 1} = y_{i} = 0$ para toda $i$, en otras palabras las partículas no se desplazan, que es lo que se deseaba mostrar, además, como se sabe el vector cero no puede ser Eigenvector. Ahora bién, como

$$\arrowvert T_{i} \arrowvert = \frac{a_{i, i - 1}}{a_{i, i + 1}} \neq 0 \ \ \ \ \ \ \ \mbox{para toda} \ i$$ (II.23)

lo que implica que para cada una de las Matrices de Transferencia existe su matriz inversa, por lo que es posible escribir

$$Z_{0} = \tau^{(i)^{-1}} Z_{i}$$ (II.24)

donde $\tau^{(i)^{-1}}$ está denotando a la matriz inversa de la Ec (II.21), explícitamente

$$\left [ \begin{array}{ccc} y_{1} \\ \\ 0 \end{array... ...} \\ \\ y_{i} \end{array} \right]\eqno{(\mbox{II.24'})}$$

de la Ec. de arriba, es claro, que si $y_{i + 1} = y_{i} = 0$ implicaría que $y_{1} = 0$ y como ya hemos mostrado que si esto ocurre, el vector formado por los $y_i$ no seria Eigenvector de la matriz de Movimiento, entonces podemos asegurar que es imposible que dos partículas adyacentes de la Cadena tengan desplazamiento nulo simultáneamente. Retornando a la ec. (II.20) se tiene

$$\tau_{11} ^{N}(\lambda) = 0$$ (II.25)

que es otra forma de establecer la Ecuación Característica de $A$, ya que $\tau_{11} ^{N}(\lambda)$ es un polinomio en $\lambda$ de grado $N$, entonces es claro que salvo un factor, se trata del polinomio característico de $A$, que es un resultado que se esperaba, ya que se obtiene de imponer las condiciones a la frontera

$$y_{0} = y_{N + 1} = 0$$