Consideraciones del modelo y gráfica del espectro de eigenfrecuencias.

Este modelo como fue citado anteriormente, se puede considerar como el interior de cualquier cadena, por lo tanto todo lo mencionado anteriormente es válido para este modelo.

En este modelo suponemos que las partículas $1$ y $N$ están acopladas a las partículas $0$ y $N+1$ respectivamente, que son consideradas como partículas ficticias con la propiedad de que su desplazamiento es nulo aún cuando tengan el mismo tipo de interacción que las partículas, por lo tanto, podemos decir que estas partículas actúan como paredes que fijan toda la cadena.

Por otra parte la matriz de movimiento para este modelo, está dada por la matriz de coeficientes $M$, esto es:

$$M=\left[\begin{array}{llllll} a_0 & a_1 & a_2 & & & \\ ... ...dots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \end{array}\right]$$

Empleando esta matriz de movimiento, se obtuvo una gráfica de la variación de las frecuencias en función del parámetro $a_1 /4a_2$, esto es gráfica (VI.I).

Para claridad en la interpretación de la gráfica, fue necesario diagonalizar numéricamente^6.1por el método de Jacobi una matriz de movimiento de $9\times 9$, que es equivalente, a una cadena con $9$ partículas denotadas por $1,2,\ldots ,9$, cuya variación corresponde de la frecuencia mayor a la menor, por lo tanto la variación independiente de cada frecuencia no está involucrada únicamente en alguna de las trayectorias denotadas de $1,\ldots ,9$.

Un resultado importante que se deduce de esta gráfica, es que existe únicamente degeneración doble por cruzamiento en este tipo de interacción a segundos vecinos, como se puede comprobar de la gráfica (VI.I), además se comprueba analítica y gráficamente que esta degeneración doble es por intersección de dos trayectorias, por factorizar los polinomios de Tchebychev ya que en este caso se obtiene la ecuación explícita para cada curva y se demuestra que existe intersección entre ellas.