Para claridad en la presentación de la discusión completa, consideramos primero una cadena lineal unidimensional con sus extremos fijos, formada por partículas homogéneas equidistantes, por lo tanto el modelo que analizamos es del tipo de ``Baden Powell''.
Además nuestro modelo, es el de una cadena de partículas libres, es decir, un modelo en el que las únicas fuerzas presentes, son las debidas a la interacción entre las partículas mismas, las modificaciones y generalización serán indicadas posteriormente.
Los problemas realistas son aquellos que implican redes tridimensionales y aunque ellos exhiben algunos aspectos, tales como irregularidades en sus curvas de calores específicos que no son encontrados en sistemas unidimensionales, estos sistemas son muy complicados y muchas veces sus propiedades son inferidas, como simples y legítimas a partir de otros sistemas más sencillos, como por ejemplo cuando es posible separar sus ecuaciones de movimento en términos de aquellos pertenecientes al sistema unidimensional. Por lo tanto uno de los objetivos de este trabajo, es el de encontrar un modelo (matricial) que nos permita inferir algunas características de modelos más complicados.
La referencia clásica de estos tratamientos es encontrada en el libro de Brilloin. ``Wave Propagation in Periodic Structures'' [1], en tanto que los tratamientos contemporáneos los podemos encontrar en el libro ``Theory of latice dynamics in the harmonic approximation'', [2] cuyos autores son Maradudin, Montrol y Weiss. El tratamiento intenso de la Escuela Japonesa está resumido en dos artículos [3] y [4] y en el libro de Hori [5]. Uno de los pocos artículos en que se trabajan interacciones a segundos vecinos y que fue muy importante en el desarrollo de este estudio fue publicado por Gazis y Wallis [6].