Dos cargas magnéticas

Partículas Atrapadas (Energías Positivas)

Deseamos saber si es posible que existan estados ligados con energías positivas en el caso del dipolo magnético. Para eso encontramos que hay dos configuraciones posibles de las curvas que dependen de $\xi$; lo que debe tenerse en ambos casos es que la recta para energía nula deber estar comprendida entre la asíntota horizontal tangente al mínimo de la curva. Una configuración es la siguiente:

Figure 4.1:

Para esta configuración debe cumplirse que

$$-\frac{p_\phi}{g_{-}} > 1 \qquad \rightarrow \qquad p_\p... ... \qquad \rightarrow \qquad p_\phi^{2} > \frac{g_{-}^{2}}{2}$$

Esta es la condición para que el cero de la función esté localizado en algún valor $\xi > 1$. La recta que define el cero de la energía debe satisfacer la condición

$$0 \leq \frac{g_{-}^{2}}{2} - \alpha \leq g_{-}^{2} \qqua... ...- \frac{g_{-}^{2}}{2} \leq -\alpha \leq \frac{g_{-}^{2}}{2}$$

Para la variable $\eta$ cualquier solución con sentido físico debe cumplir con la condición de que la recta que define el cero de la energía intersecta la rama inferior de la otra curva. Entonces, siempre se debe exigir que se cumpla la desigualdad:

$$\frac{g_+^{2}}{2} - \alpha \leq p_\phi^{2}$$

Para el dipolo magnético $g$ vale cero, entonces

$$-\alpha \leq -p_\phi^{2} \qquad \rightarrow \qquad \alpha \geq p_\phi^2$$

Las condiciones para $\xi$ y para $\eta$ deberán cumplirse simultáneamente. Es decir, que para la configuración de las curvas de que estamos considerando debemos tener:

$$p_\phi^{2} > \frac{g_-^2}{2} \eqno{(1)}$$

$$\mid \alpha \mid \leq \frac{g_-^2}{2} \eqno{(2)}$$

$$\alpha \geq \ p_\phi^2 \eqno{(3)}$$

Con (1), (2) y (3) podemos formar otra desigualdad:

$$\alpha \; \geq \; p_\phi^2 \; > \; \frac{g_-^2}{2} \; \geq \; \alpha \eqno{(4)}$$

(4) resulta ser una contradicción, de donde concluimos que para la configuración que hemos elegido no puede haber partículas atrapadas. Nos queda todavía ver la otra configuración, la cual consiste en que el cero de la función está en el intervalo $(-1,1)$ y que el mínimo esta situado del lado derecho. La configuración de las curvas se ilustra en la siguiente figura

Figure 4.2:

El valor de la función en el punto $-\frac{g_-}{-p_\phi }$ es

$$\frac{(p_{\phi} + g_-\xi_{ext})^2}{\xi_{ext}^2 - 1} = \fra... ...}{p_\phi}])^2}{\frac{g_-^2}{p_\phi^2} -1} = g_-^2 - p_\phi^2$$

Entonces, para $H=0$, deberá cumplirse la desigualdad

$$g_-^2 - P_\phi^2 \leq \frac{g_-^2}{2} - \alpha \leq g_-^2$$

por lo tanto

$$\frac{g_-^2}{2} - p_\phi^2 \leq -\alpha \leq \frac{g_-^2}{2}$$

Además, debe cumplirse que

$$-\frac{g_-}{p_\phi} > 1 \qquad \longrightarrow \qquad g_-^2 > p_\phi^2$$

Por lo tanto se tienen tres condiciones para la configuración que hemos tomado:

1.         
2.         
3.              ó     

Podemos formar la desigualdad

$$\frac{g_-^2}{2} - p_\phi^2 \leq -\alpha \leq - p_\phi^2 \qu... ...ha \leq 0 \quad \longrightarrow \quad \frac{g_-^2}{2} \leq 0$$

Nuevamente hemos llegado a una contradicción por lo que concluimos que en ningún caso la separación de las variables nos lleva a partículas atrapadas con energía positiva. Debemos recordar que la separación se consiguió sumando un potencial repulsivo a la hamiltoniana. Podemos decir que por lo menos, la adición de un potencial de ese estilo conduce a que no haya el tipo de trayectorias como las que hemos buscado.