Algunos ejemplos de configuraciones que pueden estudiarse con el método que estamos usando

En secciones anteriores hemos discutido el problema de dos centros de una manera muy general, ahora deseamos ver algunos casos concretos. El análisis se ha realizado en su mayor parte según los resultados de las curvas discutidas en la sección (I.5.1). Entre los ejemplos que más llaman la atención están los dipolos eléctrico y magnético. El primer caso, en ausencia de cargas magnéticas es completamente separable pero su solución completa no es muy clara en general, normalmente se estudian órbitas en un plano y aun así las soluciones no resultan particularmente simples; para tres dimensiones es un poco más complicado el problema y la mayoría de los tratamientos solamente llegan a establecer las expresiones para las integrales del movimiento, ese es el caso, por ejemplo del libro de Whittaker [7]. Hay un tratamiento más completo en el libro de Pars [9] usando mecánica lagrangiana, pero las soluciones tampoco son lo suficientemente simples. Max Born [14] y Corben [15] estudian el problema usando mecánica hamiltoniana y utilizando coordenadas elipsoidales. El tratamiento de Pauli discutido en el libro de Max Born es bastante cualitativo mientras que Corben resuelve las integrales para casos en que el problema se reduce a sistemas más simples; también, para dos centros, hay un estudio muy completo, posiblemente el trabajo más completo en ese problema y corresponde a una serie de artículos publicados por Tallqvist [9]. Actualmente existe poco interés en este problema desde un punto de vista clásico, debido a que en mecánica cuántica es demasiada complicada la teoría de integrales de acción y ángulo. El libro de Max Born fue escrito en la época de la mecánica cuántica vieja, y estaba conectado con las reglas de cuantificación de Sommerfeld-Wilson pero debido a que la teoría de Bohr no explica ciertos efectos en las líneas espectrales se abandonó ese tipo de tratamientos. La dificultad es que a ese nivel no puede despreciarse la interacción de un electrón con los restantes en la nube electrónica. En astronomía, posiblemente haya algún interés, en conexión con el estudio de las estrellas dobles, pero como para tales sistemas los dos centros no estan fijos sino que giran alrededor de un centro común (centro de masas) el problema no es tan simple; sin embargo, con una buena aproximación y para tiempos cortos, puede tratarse el caso de satélites alrededor de un planeta, tomando como centros al sol y al planeta mismo. En el caso de dos cargas magnéticas podemos hablar aproximadamente de un dipolo magnético aunque tal configuración no es posible, debido a que dos monopolos nunca se atraen. Sin embargo, si nos olvidamos de nuestra fuerza repulsiva entre monopolos, podemos tratar el caso del dipolo magnético. Tómese en cuenta siempre que, para separar el hamiltoniano, se le adicionó a éste un potencial centrífugo repulsivo, así que nuestros resultados no serán precisamente iguales a los que se obtienen sin recurrir a dicho truco, aunque para grandes distancias del origen este término va perdiendo importancia y puede considerarse como una perturbación, cuyo efecto consiste en dar una trayectoria que atenúa en cierto modo las formas rizadas típicas de las partículas que se mueven en campos magnéticos, aunque eso no lo hemos demostrado, pero puede verse en los ejemplos la diferencia que existe entre las curvas cuando se incluye el potencial repulsivo y cuando no se le considera. Los tratamientos comunes sobre el dipolo magnético son motivados fundamentalmente por el estudio de partículas cargadas en el campo magnético de la Tierra. En ese sentido estan orientados los trabajos de Störmer, Sandoval Vallarta y otros sobre dicho problema. En esos trabajos no se usa una formulación hamiltoniana, sino que se emplean métodos vectoriales. El estudio analítico del problema llega siempre a un punto en que se requieren métodos numéricos debido a la complejidad de las ecuaciones diferenciales; en general nunca se ha resuelto el problema completamente, sino que se le separa en diferentes casos particulares. Hay un trabajo reciente publicado por Martín Brown de la Universidad de New York [6] donde se ataca el problema del movimiento de partículas en campo magnético, y se incluye como un caso particular el problema de Störmer. Este es uno de los trabajos donde se usa mecánica hamiltoniana y las coordenadas que se emplean son las cilíndricas. Sobre los trabajos de Störmer, aún cuando hay numerosos artículos, en su libro ``The Polar Aurora" [5] resume lo más importante de su estudio, el libro incluye también fotografías de experimentos realizados con su Terrella. Por lo que respecta a los trabajos de Sandoval Vallarta, hay un resumen en un volumen Handbuch der Physik [16]. Como casos reducidos del problema de dos centros se tiene también el problema de Kepler y el problema del monopolo magnético. El primero es bastante conocido y puede consultarse cualquier libro de mecánica clásica, por ejemplo, el libro de Goldstein [1]. Acerca del monopolo magnético, la literatura no es muy abundante por lo que respecta al tratamiento del problema desde un punto de vista clásico; hemos hablado ya en otra parte del trabajo de Poincaré [17]; hay también un artículo de Darboux [18]; hay una discusión breve en el libro de B. Lehnert [19]. Como caso particular el problema de un centro en el que colocamos una combinación de carga eléctrica y magnética, como ya hemos dicho en otra sección.