Energías negativas

Para energías positivas no hemos encontrado partículas atrapadas, veamos las condiciones que deben cumplirse para que haya trayectorias ligadas (si las hay) con energías negativas, escribiremos la forma que deben tener las ecuaciones (3) de la página 15.

$$h\xi + \left(\frac{g_-^2}{2} - \alpha \right) = \frac{(p_\phi + g_- \xi )^2}{{\xi}^2 - 1}$$

$$h\eta^2 + \left(\frac{g_+^2}{2} - \alpha \right) = \frac{(p_\phi + g_+\eta)^2 }{\eta^2 - 1}$$

para las curvas de $\xi$ hay dos posibilidades, dependiendo de si $-p_\phi / g_- > 1$ ó . Sabemos que dicha cantidad corresponde al cero de la función y que su valor determina si la curva toca al eje horizontal dentro del intervalo $(-1,1)$ o fuera de él. El estudio del movimiento se hace de la misma manera que se ha hecho anteriormente.

Caso 1.- consideramos primero para $\xi$ la posibilidad $-p_\phi / g_- > 1$ . Tendremos entonces $p_\phi^2 > g_-^2$. Debe pedirse como en casos anteriores, que la intersección de la parábola con el eje vertical sea positiva o cero, es decir:

$$\frac{g_-^2}{2} - \alpha \geq 0 \quad \longrightarrow \quad g_-^2 \geq 2\alpha$$

Las condiciones para $\eta$ son del mismo tipo, hay dos posibilidades: y veremos enseguida la primera, es decir $-p_\phi / g_+ > 1$, que es equivalente a $p_\phi^2 > g_+^2$. El valor de la función $S_2$ en el punto $-g_+ / p_\phi$ (valor extremo) es $g_+^2 - p_\phi^2$ y ese valor debe ser menor o igual a la intersección de la parábola con el eje vertical, es decir:

$$\frac{g_+^2}{2}-\alpha \leq g_+^2-p^2 \quad \rightarrow\qu... ...2-g_+^2 \; = \; p_\phi^2+ p_\phi^2-g_+^2 \; > \; p_\phi^2$$

Así, tenemos que

$$2\alpha > p_\phi^2$$

Tenemos entonces:

$$\begin{eqnarray*} p_\phi^2 & > & g_-^2 \\ g_-^2 & \geq & 2\alpha \\ p_\phi^2 & > & g_+^2 \\ p_\phi^2 & < & 2\alpha \end{eqnarray*}$$

En estas relaciones, tomando la segunda y la cuarta tendremos:

$$g_-^2 \geq 2\alpha > p_\phi^2$$

Es decir:

$$g_-^2 > p_\phi^2$$

Esta es una contradicción con la primera y por lo tanto descartamos el caso 1.

Caso 2.- Tomemos ahora la segunda posibilidad para $\eta$ a saber: $-p_\phi / g_+ < 1$ es decir $p_\phi^2 < g_+^2$ . Tomaremos aquí para la variable $\xi$ las mismas posibilidades que en el caso anterior. La intersección de la parábola con el eje vertical debe ser ahora negativa o cero:

$$\frac{g_+^2}{2}-\alpha \leq 0 \quad \longrightarrow \quad g_+^2 \leq 2\alpha$$

Resumiendo, se tiene

$$\left. \begin{array}{lcr} p_\phi^2 > g_-^2 \\ p_\phi^2 <... ...-^2 < p_\phi^2 < g_+^2 \quad \rightarrow \quad g_-^2 < g_+^2$$

$$\left. \begin{array}{lcr} g_-^2 \geq 2\alpha \\ g_+^2 \l... ... \geq 2\alpha \geq g_+^2 \quad \rightarrow \quad g_-^2 > g_+^2$$

Llegamos a una contradicción y por lo tanto descartamos el caso 2.

Caso 3.- Combinaremos ahora la segunda posibilidad para $\xi$ con la primera para $\eta$.

Para $\xi$ se tiene: $-p/g_- < 1 \rightarrow p_\phi^2 < g_-^2$

El valor de la función en el punto $-g_-/ p_\phi \;$ es $\; g_-^2 - p_\phi^2$

Debemos tener por consiguiente:

$$\frac{g_-^2}{2}-\alpha \geq g_-^2-p_\phi^2 \quad \rightarrow\quad p_\phi^2 \geq \alpha+\frac{g_+^2}{2}$$

$$2\alpha \leq 2 p_\phi^2-g_+^2= p_\phi^2+p_\phi^2-g_+^2$$

$$2\alpha \leq p_\phi^2+{p_\phi}^2-g_+^2 < p_\phi^2$$

$$2\alpha < p_\phi^2$$

Eso porque $\quad p_\phi^2 -g_+^2 < 0$ Las condiciones para $\eta$ ya se encontraron en el caso 1, entonces tendremos:

$$\begin{eqnarray*} p_\phi^2 &<& g_-^2\\ p_\phi^2 &<& g_+^2\\ p_\phi^2 &<& 2\alpha\\ 2\alpha &<& p_\phi^2 \end{eqnarray*}$$

llegamos a una contradicción y tenemos descartado el caso 3.

Caso 4.- Nos queda el último caso que consiste en tomar la segunda posibilidad para $\xi$ con la segunda para $\eta$. Hemos encontrado en los casos 2 y 3 las condiciones que deben cumplirse para las dos posibilidades mencionadas (en el 2 para $\eta$ y en 3 para $\xi$ ); las relaciones que mencionamos son:

$$\begin{eqnarray*} p_\phi^2 &<& g_-^2\\ p_\phi^2 &<& g_+^2\\ p_\phi^2 &>& 2\alpha\\ g_+^2 &\leq& 2\alpha \end{eqnarray*}$$

combinando la segunda con la cuarta se tiene:

$$p_\phi^2 < g_+^2 \leq 2\alpha \quad \rightarrow \quad p_\phi^2 < 2\alpha$$

Esto está en conflicto con la tercera relación, entonces lo que encontramos que también hay que descartar el cuarto caso. Conclusión de todo lo anterior: No se puede encontrar trayectorias ligadas cuando la carga en los dos centros es puramente magnética.