Planteamiento del problema

En general, el propósito de nuestro trabajo consiste en determinar el movimiento de una partícula en el campo de dos centros coulombianos en los términos que hemos propuesto en páginas anteriores. Los casos correspondientes a monopolos magnéticos, problema de Kepler, dipolos, etc., son diferentes posibilidades del problema. Entonces, las ecuaciones de movimiento se plantean para dos centros y en cada caso se harán las consideraciones necesarias. La naturaleza del problema nos sugiere utilizar coordenadas elipsoidales y el método más adecuado para realizar nuestro estudio es el uso de una formulación hamiltoniana. La definición de coordenadas elipsoidales es la siguiente: Se tienen dos focos separados por una distancia de $2d$, en ellos vamos a colocar los centros de fuerza mencionados. Las distancias de dichos centros a un punto $P$ (donde colocamos la carga de prueba) están representadas por $r_1$ y $r_2$. Las coordenadas se toman como:

$$\xi = \frac{r_1+r_2}{2d}$$ (I-1-1)

$$\eta = \frac{r_1-r_2}{2d}$$

La línea de los centros se toma como eje $Z$, alrededor de dicho eje se considera un ángulo $\phi$ como tercera coordenada. La interpretación de dichas coordenadas es la siguiente. Los valores constantes de $\xi$ definen elipses cuyos focos son precisamente los dos centros y los valores de $\eta$ deteminan hipérbolas con los mismos focos. En tres dimensiones se tendrán figuras de revolución alrededor del eje $Z$. En seguida mostramos el caso bidimensional.

Figure 1.1: coordenadas elípticas

Además, se ve fácilmente que

$$r_1 = \sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}$$ (I-1-2)

$$r_2 = \sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}$$

Se tienen algunas relaciones que nos serán útiles:

$$\xi^2+\eta^2 = \frac{r_1^2+r_2^2}{2d^2} = \frac{x^2+y^2+z^2+d^2}{d^2}$$

$$\xi^2-\eta^2 = \frac{r_1r_2}{d^2}$$

$$\xi \; \eta = \frac{z}{d} \quad \Longrightarrow \quad z = \xi \; \eta \; d$$ (I-1-3)

$$r^2 = x^2+y^2 = d^2 (\xi^2-1)(1-\eta^2) \quad \mbox{ (radio cil\'{\i}ndrico)}$$

$$x = r \cos \phi = d\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\cos \phi$$

$$y = r \; \mbox{sen}\phi = d\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;\mbox{sen}\phi$$

Estas relaciones permiten en cualquier momento escribir en coordenadas elipsoidales cantidades expresadas en coordenadas cartesianas.