Ecuaciones de movimento

Una vez planteada la naturaleza del problema el siguiente paso consiste en establecer las ecuaciones de movimiento en forma hamiltoniana, primero vamos a ver como se escribe la energía cinética en términos de las nuevas coordenadas. Recordemos que en coordenadas cartesianas y en ausencia de potencial vectorial la energía cinética está dada como:

$$T = \frac{p^2}{2m} = \frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}$$ (I-2-1)

Si deseamos expresar nuestras ecuaciones en coordenadas elipsoidales conviene formar una función generadora de transformaciones canónicas del tipo $F_2$ [1] de la manera siguiente:

$$F_2 = \sum_iQ_i(q_j)P_i$$ (I-2-2)

donde las $q_j$ son las viejas coordenadas y las $Q_i$ y las $P_i$ son las nuevas coordenadas y los nuevos momentos respectivamente. Ya sabemos de la teoría que

$$\begin{eqnarray*} Q_i & = & -\frac{\partial F}{\partial p_i} \\ P_i & = & \frac{\partial F}{\partial q_i} \end{eqnarray*}$$

con estas relaciones podemos encontrar los viejos momentos y coordenadas en función de los nuevos. En nuestro caso y de acuerdo con (I-2-2) se tiene:

$$\begin{eqnarray*} F_2 & = & \xi p_{\xi}+\eta p_{\eta}+\phi p_{\phi} \end{eqnarray*}$$

y

$$\begin{eqnarray*} p_x & = & \frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial... ...partial x}p_{\eta} + \frac{\partial \phi}{\partial x}p_{\phi} \end{eqnarray*}$$

Para $p_y$ y $p_z$ se obtienen relaciones semejantes. Una vez efectuadas las operaciones, los resultados son:

$$p_x = \frac{x\xi p_{\xi}}{d^2(\xi^2-\eta^2)} - \frac{x\eta p_{\eta}}{d^2(\xi^2-\eta^2)} - \frac{y p_{\phi}}{(x^2+y^2)}$$

$$p_y = \frac{y\xi p_{\xi}}{d^2(\xi^2-\eta^2)} - \frac{y\eta p_{\eta}}{d^2(\xi^2-\eta^2)} + \frac{x p_{\phi}}{(x^2+y^2)}$$ (I-2-3)

$$p_z = \frac{z\xi -d\eta}{d^2(\xi^2-\eta^2)}p_\xi - \frac{z\eta -d\xi}{d^2(\xi^2-\eta^2)}p_\eta$$

Teniendo ahora los viejos momentos se substituye en la expresión para la energía cinética resultando lo siguiente:

$$2 m d T = \frac{1}{\xi^2-\eta^2} \left\{(\xi^2-1) p_{\xi... ...1}{\xi^2-1} +\frac{1}{ 1-\eta^2 } \right) p_{\phi}^2 \right\}$$ (I-2-4)

con lo cual tenemos la energía cinética expresada en coordenadas elipsoidales como era nuestro deseo. Una vez hecho lo anterior debemos observar ciertas propiedades: Nótese que cuando el valor de $\xi$ se acerca a la unidad, las elipses van siendo cada vez más cerradas hasta llegar al límite en que se tiene una elipse degenerada en el segmento rectilíneo que une los dos centros. También al llegar a la unidad del valor de $\eta$ las hipérbolas se cierran hasta que se llega a una hipérbola degenerada que corresponde a la parte comprendida fuera del segmento que une los centros. Cuando una de las dos variables vale uno, la otra puede tomar cualquier valor diferente de la unidad, en esos casos no hay singularidades, pero sí cuando las dos variables toman el mencionado valor y que es equivalente a estar colocado en uno de los dos centros, como puede verse de (I-1-1) ya que $r_1$ y $r_2$ no pueden anularse simultáneamente. También puede verse en (I-2-4) que la energía cinética va a ser distorsionada por el factor $1/(\xi^2-\eta^2)$ y que corresponde al recíproco del producto $r_1r_2$. Cuando dicho producto es muy pequeño su recíproco es muy grande lo cual significa estar en la vecindad de uno de los dos centros. Se observa también que cuando $\xi \rightarrow 1$ el factor que multiplica a $p_{\xi}^2$ es muy pequeño lo que va a ser compensado con el crecimiento de $1/(\xi^2-\eta^2)$ de tal modo que el producto de los dos se mantiene fijo y lo mismo se tiene con la parte correspondiente a la variable $\eta$. Entonces, esos dos momentos pueden tomar valores muy grandes, pero debe señalarse que dichos momentos no son únicamente de la forma $mv$ sino que hay un factor de peso que toma en cuenta el cambio de coordenadas rectangulares a curvilíneas provocando que aparezcan distorsiones en la vecindad de los puntos ya mencionados. Por lo que respecta al coeficiente del momento $p_{\phi}$ este tienen singularidades en torno al eje $Z$. Hay que señalar que a excepción del factor $1/(\xi^2-\eta^2)$ en la energía cinética se tiene una suma de funciones con variables separadas, por lo menos cuando tenemos a $p_{\phi}$ como constante. En ese caso se tendrá la suma de una función sólo de $\xi$ y una sólo de $\eta$. Puede decirse entonces que la energía cinética en este tipo de coordenadas está casi separada; se verá que es separable en un sentido que es útil. Que la hamiltoniana sea o no separable va a depender de si lo es la energía potencial, que es de la forma $\frac{a}{r_1}+\frac{b}{r_2}$ que equivale a

$$\frac{1}{\xi+\eta}+\frac{1}{\xi-\eta}$$

y se verá que al menos para potencial coulombiano se puede separar. También hay separación cuando existe potencial vectorial debido a una carga magnética como veremos más adelante. El sistema de coordenadas empleado es uno de los pocos en que el problema es separable (en coordenadas cartesianas esto no es posible).