Límites y derivada de una función compleja

Se dice que una función tiene un límite A cuando $z$ tiende a $a$

$$\lim_{z\rightarrow a} f(z)= A$$

si para todo $\epsilon < 0$ exite un $\delta < 0$ tal que

$$\vert f(z)-A\vert < \epsilon$$

siempre que

$$0 < \vert z-a\vert < \delta$$

Como vemos las condiciones mencionadas arriba para la existencia del límite se pueden interpretar de la siguiente manera: dado un disco $D_\epsilon$ de radio $\epsilon$ y centro en $A$, existen un disco $D_{\delta}$ con centro en $a$ y radio $\delta$ tal que para todo $z$ en $D_\delta$ existe un $f(z)$ en $D_\epsilon$. Puede que en el centro $a$ no se cumpla ésto. Hay que tomar en cuenta la definición de número complejo para poder entender los límites de funciones complejas, ya que $a$ y $A$ son complejos. Las reglas para límites de funciones complejas son los mismos que para variable real.

Cuando aplicamos el límite estamos acercando $z$ a $a$ pero podemos acercarlo por muchas direcciones así que se escoge las más cómodas que son por el eje real e imaginario, es decir, un límite horizontal y un vertical. para hacer esto diremos que $z = x+iy$ y $a = \alpha + i\beta$ y descompondremos en límite como sigue:

$$\lim_{x = \alpha ; y \rightarrow \beta}f(z)$$

$$\lim_{x \rightarrow \alpha; y = \beta}f(z)$$

Si el resultado de estos dos límites es igual entonces

$$\lim_{z\rightarrow a}f(z)$$

existe, de lo contrario no existe.

Para que una función sea continua en $z_0$ debe estar definida en $z_0$ y cumplir con que

$$\lim_{z\rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)$$

Si esto no se cumple se dice que la función es discontinua en $z_0$. Por las reglas de límites se deduce que si dos funciones son continuas su suma y multiplicación es también continua pero su cociente será continuo sólo donde la función en el denominador sea distinta de cero.

La derivada de una función compleja se define como

$$f'(z) = \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{z_0\rightarrow 0} \frac {\Delta f}{\Delta z}$$

y respeta las fórmulas de derivación del cálculo real.

Si una función es derivable en un punto $z_0$ entonces es continua pero si la función es continua no implica que será derivable.

Una función se dice analítica en un punto $z_0$ si es continua y derivable en $z_0$ y en todo $z$ que pertenezca a alguna vecindad de $z_0$.

Si tenemos la función $w = f(z)$ que es analítica en el punto $f(z_0)$ y $f'(z)\neq0$ entonces $k = \vert f'(z_0)\vert$ es un coeficiente de alargamiento o contracción, dependiendo si es mayor o menor a uno. El argumento de $\theta = f(z_0)$ es igual al ángulo, al que hay que girar la tangente en $z_0$ de cualquier arco L que pasa por $z_0$, para obtener la tangente en el punto $w_0 = f(z_0)$ a la imagen L$^*$ de esta curva después de aplicar la transformación. Si $\theta < 0$ será en contra de las manecillas del reloj y viseversa.