Relaciones de Equivalencia

Una vez definida la estructura de un espacio vectorial, es interesante analizar los mapeos que pueden existir entre los elementos de varios espacios, en este caso, el uso de relaciones de equivalencia ayuda a hacer más clara la interacción entre dos espacios conectados por una función.

Una función debe cumplir que para cada elemento $x$, $f(x)$ sea única; de este modo, para espacios vectoriales se requiere que las funciones cumplan con ser lineales, esto es:

$$f(ax + by)=af(x) + bf(y).$$ (3)

Funciones lineales entre espacios vectoriales forma otro espacio vectorial; los valores que tome la función dependen de los valores que asigne a la base del espacio, pues de ahí todos los demás elementos se generan como combinaciones lineales.

Para un subconjunto de un espacio vectorial donde una función toma el mismo valor en cada elemento del subconjunto, se define una clase de equivalencia; las contraimágenes de esta función dependen de la contraimagen de 0 pues dos elementos de la misma clase de equivalencia tienen las mismas imágenes; por esto, la contaimagen de 0 constituye el kernel del mapeo. Las imágenes y contraimágenes de un espacio vectorial son también espacios vectoriales.