Definición Básica de Espacios Topológicos

Tomando como referencia los conceptos de álgebra lineal para el análisis de espacios vectoriales, veamos ahora como se formula con la topología de conjuntos una teoría similar en el estudio de espacios que contienen cualquier tipo de elementos; de este modo, mientras en espacios vectoriales las entidades básicas son vectores, en topología de conjuntos las estructuras fundamentales serán los conjunto abiertos y mientras en espacios vectoriales las operaciones básicas son la adición y la multiplicación por un escalar, en espacios topológicos lo son la unión y la intersección de conjuntos.

Un espacio topológico consiste en un conjunto $\mathcal{C}$ y una topología definida sobre éste, la cual se define con una familia $\mathcal{F}$ o un conjunto de subconjuntos de $\mathcal{C}$ denominados abiertos; dicha familia debe cumplir con los siguientes axiomas:

Axioma 1   El conjunto vacío $\varnothing$ y el conjunto total $\mathcal{C}$ pertenecen a $\mathcal{F}$.

Axioma 2   La unión de una subfamilia arbitraria de $\mathcal{F}$ pertenece a $\mathcal{F}$.

Axioma 3   La intersección de una subfamilia finita de $\mathcal{F}$ pertenece a $\mathcal{F}$.

Las definiciones básicas [Jan84] utilizadas en los espacios topológicos son:

• $\mathcal{U}\subset \mathcal{C}$ es llamado cerrado cuando $\mathcal{C}- \mathcal{U}$ es abierto.
• $\mathcal{U}\subset \mathcal{C}$ es llamado una vecindad de $\mathrm{C}\in \mathcal{C}$ si existe un conjunto abierto $\mathcal{W}$ que cumple con $\mathrm{C}\in \mathcal{W}\subset \mathcal{U}$.

  Figura: Vecindad de $\mathrm{C}$.

  

• Para $\mathcal{U}\subset \mathcal{C}$, un elemento $\mathrm{C}\in \mathcal{C}$ es llamado un punto interior, exterior o frontera de $\mathcal{U}$, respectivamente, si $\mathcal{U}$, $\mathcal{C}- \mathcal{U}$ o ninguno de los anteriores es una vecindad de $\mathrm{C}$.

  Figura: Punto interior, exterior y frontera de $\mathcal{U}$.

  

• El conjunto $\overset{\circ}{\mathcal{U}}$ de los puntos interiores de $\mathcal{U}$ es llamado el interior de $\mathcal{U}$.
• El conjunto $\overline{\mathcal{U}}$ de los puntos de $\mathcal{C}$ que no son puntos exteriores de $\mathcal{U}$ es llamado la cerradura de $\mathcal{U}$.

El papel que juegan los conjuntos abiertos en un espacio topológico es crucial ya que con ellos podemos conocer las características de este espacio; propiedades que cumplen los conjuntos abiertos son:

• $\mathcal{U}\subset \mathcal{C}$ es abierto $\Leftrightarrow \mathcal{C}- \mathcal{U}$ es cerrado.
• $\mathcal{U}\subset \mathcal{C}$ es abierto $\Leftrightarrow \mathcal{U}$ es una vecindad de cada uno de sus puntos.

  Figura: Si $\mathcal{U}$ es abierto, entonces es vecindad de cada uno de sus puntos.

  

• $\mathcal{U}\subset \mathcal{C}$ es abierto $\Leftrightarrow \mathcal{C}- \mathcal{U}= \overline{\mathcal{C}- \mathcal{U}}$.

  Figura: Si $\mathcal{U}$ es abierto, entonces $\mathcal{C}- \mathcal{U}$ es cerrado.

  

Para un mismo conjunto $\mathcal{C}$, podemos definir varias topologías, es decir, distintas familias $\mathcal{F}_i$ que cumplan con los axiomas de un espacio topológico. Por supuesto, los conjuntos $\mathcal{F}_i$ no tienen por que ser iguales ni tener el mismo número de subconjuntos; si $\mathcal{F}_i$ y $\mathcal{F}_j$ son topologías sobre $\mathcal{C}$ y $\mathcal{F}_i \subset \mathcal{F}_j$ entonces $\mathcal{F}_j$ se dice mas fina que $\mathcal{F}_i$ ó $\mathcal{F}_j$ se denomina mas débil o gruesa que $\mathcal{F}_i$. La más débil topología de todas es $\mathcal{F}=\{ \varnothing, \mathcal{C}\}$ y es llamada discreta [Haj68].