Base de un Espacio Topológico y Mapeos Contínuos

Sea $\mathcal{C}$ un espacio topológico, un conjunto $\mathcal{B}\subset \mathcal{C}$ se dice una base de $\mathcal{C}$ si cada conjunto abierto de $\mathcal{C}$ es generado por la unión de conjuntos de $\mathcal{B}$. De la misma mane-ra que la base de un espacio vectorial, la base de una topología es capaz de generar todos los elementos del espacio topológico por medio de la unión.

Sean $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ dos espacios topológicos, Un mapeo $f:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}$ es contínuo si la imagen inversa de un conjunto abierto es siempre otro conjunto abierto. Un mapeo biyectivo $f:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}$ se denominará un homeomorfismo cuando tanto $f$ como $f^{-1}$ sean contínuas; es decir, para $\mathcal{U}\subset \mathcal{C}$, $\mathcal{U}$ es abierto sí y solo si $f(\mathcal{U}) \subset \mathcal{D}$ es abierto también.

Figura: Homeomorfismo entre $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$; el mapeo preserva los conjuntos abiertos.

Para los espacios topológicos, los homeomorfismos juegan el mismo papel que los isomorfismos en espacios vectoriales [Jan84]; un homeomorfismo conserva las propiedades topológicas al mapear de un espacio a otro, pues el mapeo de una base será a su vez la base del espacio imagen. Trabajar con homeomorfismos es muy útil ya que si conocemos las propiedades de un espacio topológico dado, podemos encontrar estas mismas características en todos los espacios homeomórficos a éste.