Determinación de un grupo dinámico clásico del problema, para estados ligados $(E<0)$

Como es sabido, dado un sistema físico descrito por cierto número de variables (observables), la estructura algebraica de éstas se basa, clásicamente, en sus relaciones de paréntesis de Poisson y, cuánticamente, en sus relaciones de conmutación.

Entonces, clásicamente, uno de los métodos de estudio de las simetrías de un sistema se basa en las estructuras algebraicas que se pueden formar a partir de funciones de las coordenadas y momenta que constituyen el espacio fase que le corresponde; otro método de estudio consiste en la identificación de las constantes del movimiento con significado geométrico más o menos directo, usando muchas veces para ésto, procedimientos vectoriales (en este trabajo se han usado los dos métodos, en las secciones I.C y I.B, respectivamente). Así, cuando se quiere estudiar la simetría de un sistema basándose en el primer método (``algebraico''), se buscan funciones de las coordenadas y momenta, independientes explícitamente del tiempo, que:

a)

Conmuten, bajo paréntesis de Poisson, con el Hamiltoniano del sistema; su independencia explícita del tiempo indica, entonces, que son constantes del movimiento [35]: generan transformaciones canónicas que dejan invariante el Hamiltoniano.

b)

Deben constituir un sistema cerrado bajo la operación de paréntesis de Poisson, o sea, deben formar un Álgebra de Lie, pues el paréntesis de Poisson es un tipo de conmutador [33]. La formación de un espacio vectorial con ellas es directa [33], teniéndose casi siempre como campo de coeficientes el de los reales y sólo excepcionalmente el de los complejos. Entonces, basándose en el Álgebra de Lie que forman, se hace la identificación de estas funciones, con generadores de un grupo de Lie, que será un grupo de simetría para el problema, pues sus generadores son, por definición, constantes del movimiento.

El concepto de grupo dinámico puede considerarse ya como un poco antigüo [36], siendo motivado por ciertas observaciones y el deseo de algunas personas [36,37], de dar un tratamiento basado puramente en teoría de Grupos a ciertos problemas, principalmente los más extensamente estudiados: el de Kepler y el del oscilador armónico [37,38,39], aunque también existe la idea de dar un tratamiento similar a todos los problemas dinámicos [36,37,38,45]. La idea surgió después del famoso trabajo de Fock [40] de 1935, en el cual demostró que el grupo de simetría para el problema de Coulomb (átomo de Hidrógeno) es $O(4)$ (aunque ésto estaba implícito en el tratamiento de Pauli [41] del mismo problema, de 1926). Las observaciones a que se hizo mención anteriormente son en el sentido de que ciertos conjuntos de eigen-funciones del Hamiltoniano de un problema cuántico, no correspondiendo necesariamente al mismo eigenvalor, forman base de representaciones de grupos. La referencia más antigua conteniendo una formalización de estas ideas es un artículo de Dothan, Gell-Mann y Neéman [43], en el cual tratan de aplicarlas a la clasificación de partículas elementales.

En el caso clásico, estas ideas forman la siguiente forma: dado un problema descrito por un Hamiltoniano $H(q,p)$, se trata de encontrar funciones independientes $G(q,p)$ tales que formen un conjunto cerrado con respecto a la operación de paréntesis de Poisson; las funciones $G$ deben ser, en número, por lo menos iguales a la dimensionalidad del espacio fase, para que sea posible expresar a todas las variables y momenta $q,p$ en función de ellas [44]. Partiendo de las funciones $G$, se forma un conjunto canónico [33] y se pone el Hamiltoniano en función de las mismas. Las funciones $G$ constituyen los generadores de un grupo de Lie al cual se le llama grupo de no invariancia o grupo dinámico del problema; debido a su estructura algebraica, dan la información sobre características del sistema (energía, rangos de las variables $q,p$, etc.) de una manera más o menos directa [36,45]. Esto equivale a un tratamiento del problema con base sólo en teoría de Grupos. En cuanto al número de funciones $G$ , si éste excede a la dimensionalidad del espacio fase, son de esperarse condiciones de restricción entre ellas, por lo cual es apropiado cambiar del uso de paréntesis de Poisson, a paréntesis de Dirac [36,38]. Generalmente se requiere, también, del grupo dinámico, que contenga al de simetría. El primer trabajo en el cual se aplica lo anterior al problema de Kepler es el de Bacry [38], en el cual demuestra que el grupo de Desitter $L(4,1) \sim SO(4,1)$ es de no invariancia para el problema. Györgyi trató el mismo problema clásica [36] y cuánticamente [38] y demostró que $SO(4,2)$ es grupo de no invariancia en ambos casos. Hwa y Nuyts [39] trataron el problema del oscilador armónico y demostraron que $SP(n,R)$ y $SU(n,1)$ son grupos de no invariancia para el oscilador armónico isotrópico n-dimensional.

Cuánticamente, debido al cambio fundamental en el método de descripción con respecto a la Mecánica Clásica, las ideas anteriores toman una forma un poco distinta:

La observación de que, dado un hamiltoniano con un cierto espectro de eigenvalores, había ciertos conjuntos de eigenfunciones que daban bases para representaciones de grupos, ha dado lugar a los conceptos: el de grupo de simetría y el de grupo dinámico o de no invariancia.

Un grupo de simetría de un sistema es un grupo cuyas representaciones tienen como bases subconjuntos de $\Psi_E$ con:

$$\Psi_E=\{\Psi \vert \Psi {\rm es eigenfunci... ... del Hamiltoniano con eigenvalor} E\}$$

La utilidad de conocer tales grupos es evidente cuando se tiene un grupo $\cal S$ tal que sus representaciones están dadas por $\Psi_E$ misma, para cada $E$. Entonces, una vez identificado este grupo, se tiene información completa sobre la degeneración del sistema, pues ella está dada por las dimensiones de las representaciones de $\cal S$, siendo estas últimas conocidas. Además, se tiene información sobre reglas de selección en transiciones del sistema y sobre el cálculo de elementos de matriz de operadores [46].

El concepto de grupo dinámico se originó en la observación [37,42] de que ciertos subconjuntos de $\{\Psi \}$, siendo $\{\Psi \}$ el conjunto de eigenfunciones del Hamiltoniano, no correspondiendo necesariamente a un sólo eigenvalor, dan representaciones de grupos de transformaciones del Hamiltoniano. Entonces, si fuera posible hallar un grupo tal que $\{\Psi \}$ diera una base de representación para él, se tendría completamente resuelto el problema, pues se tendría, además de la degeneración, dada por el grupo de simetría, el espectro de eigenvalores, pues éste sería obtenido a partir de relaciones de los generadores del grupo.

El problema de Kepler y el oscilador armónico han sido tratados desde este punto de vista [36,37,38,39]. En general, el grupo dinámico no es único, teniéndose, cuando hay dos o más, que generan distintas porciones del espectro de eigenvalores [37].

Las ideas anteriores se han aplicado también de manera inversa: dado un grupo de Lie, se trata de construir, a partir de funciones de sus generadores, Hamiltonianos que tengan a dicho grupo como de no invariancia [45a]; para que dichos Hamiltonianos correspondan a los de sistemas físicos, se les requieren condiciones adicionales de Hermiticidad, invariancia respecto a inversión el tiempo, etc. [45a].

Para el problema que se ha estado tratando, se tiene, de las relaciones (97,98) de la sec. I.C, que cualquier eigenfunción de $\varepsilon$ en el conjunto (97) multiplicada por cualquiera de las que están en (98), da una eigenfunción de $\varepsilon$ con eigenvalor 0, bajo paréntesis de Poisson; o sea, estos productos dan funciones que generan transformaciones canónicas que ``conservan" la carga magnética. Entre los 16 productos posibles, hay 8 que fueron ya utilizados en la construcción del grupo de simetría del problema; los 8 productos restantes, sin embargo, son eigenfunciones del Hamiltoniano (bajo paréntesis de Poisson) con eigenvalores distintos de 0. Entonces, si se puede demostrar que los 16 productos de eigenfunciones de $\varepsilon$ son generadores de un álgebra de Lie, se habrá demostrado la existencia de un grupo dinámico para el problema, pues el Hamiltoniano, según es evidente de la ec. (88) de la sección I.C, se puede poner en función de ellas, lo mismo que todas las variables y momenta canónicos $\{ \mu, \nu, P_{\mu}, P_{\nu}, \mbox{etc}.\}$ (en principio, para hacer ésto, se pueden invertir las relaciones (125-128) de la sección I.C ).

Fué posible demostrar que los 16 productos referidos son los generadores del álgebra de Lie correspondiente al grupo $SU(2,2)$, utilizando el procedimiento siguiente:

Sean $B_1, \ldots, B_8$ los siguientes productos de funciones (97,98) de la sección I.C (los 8 restantes ya fueron calculados, con los nombres $F_1, \ldots, F_8$, ecs. (101-108), sec. I.C):

$$B_1 = (a_1^+ + i a_2^+)(a_2^+ + i a_1^+) = i({a_1^+}^2 + {a_2^+}^2)$$ (1)

$$B_2 = (a_1^+ + i a_2^+)(a_3^+ + i a_4^+) = a_1^+a_3^+ - a_2^+a_4^+ + i (a_1^+a_4^+ + a_2^+a_3^+)$$ (2)

$$B_3 = (a_4^+ + i a_3^+)(a_2^+ + i a_1^+) = a_2^+a_4^+ - a_1^+a_3^+ + i (a_1^+a_4^+ + a_2^+a_3^+)$$ (3)

$$B_4 = (a_4^+ + i a_3^+)(a_3^+ + i a_4^+) = i({a_4^+}^2 + {a_3^+}^2)$$ (4)

$$B_5 = (a_1^- + i a_2^-)(a_2^- + i a_1^-) = i({a_1^-}^2 + {a_2^-}^2)$$ (5)

$$B_6 = (a_1^- + i a_2^-)(a_3^- + i a_4^-) = a_1^-a_3^- - a_2^-a_4^- + i (a_1^-a_4^- + a_2^-a_3^-)$$ (6)

$$B_7 = (a_4^- + i a_3^-)(a_2^- + i a_1^-) = a_2^-a_4^- - a_1^-a_3^- + i (a_1^-a_4^- + a_2^-a_3^-)$$ (7)

$$B_8 = (a_4^- + i a_3^-)(a_3^- + i a_4^-) = i({a_3^-}^2 + {a_4^-}^2)$$ (8)

Ahora, se necesitan los paréntesis de Poisson de las B's con el Hamiltoniano. Sin embargo, de la fórmula (88) de la sección I.C, usando el hecho (consecuencia de la regla de la cadena) de que, siendo $f$, $g$ y $h$ funciones de las variables canónicas $q$, $p$: $[f(g(q,p)), h(q,p)]_{q,p} = \frac {\partial f} {\partial g}[g,h]_{q,p}$, se demuestra que; siendo $f$ una función arbitraria de las $a_\ell^+$, $a_k^-$ :

$$[H,f]= \left(\frac 2 {m e_1^2 e_2^2} \right)^{\frac 1 2} (-E... ... 3 2}[a_1^+a_1^- + a_2^+a_2^- + a_3^+a_3^- + a_4^+a_4^- , f]$$ (9)

Pero, ya que el sistema es conservativo, $E =$ cte., y el factor que aparece enfrente del paréntesis de Poisson del lado derecho de (9) puede hacerse igual a la unidad, escogiendo unidades apropiadas. En este caso, puede aplicarse la fórmula:

$$[ H, f ]= [ H^I, f ]$$ (10)

Con:

$$H^I = a_1^+a_1^- + a_2^+a_2^- + a_3^+a_3^- + a_4^+a_4^-$$ (11)

Utilizando (11) y la ec. (91) de la sección I.C, se obtiene:

$$[H, B_\ell]= -2 i B_\ell \qquad \qquad ({\rm con} \qquad \ell = 1,2,3,4)$$ (12)

$$[H, B_\ell]= 2 i B_\ell \qquad \qquad ({\rm con} \qquad \ell = 5,6,7,8)$$ (13)

Los paréntesis de Poisson de las $B'$s y $F'$s se dan en la tabla 1.

0pt

[f,g]	$F_1$	$F_2$	$F_3$	$F_4$	$F_5$	$F_6$	$F_7$	$F_8$	$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$	$B_5$	$B_6$	$B_7$	$B_8$
$F_1$	0	$2F_2$	$-\!2F_3$	0	0	0	0	0	$2B_1$	$2B_2$	0	0	$-2B_5$	0	$-\!2B_7$	0
$F_2$	$-\!2F_2$	0	$2(F_1\!\!-\!\!F_4)$	$2F_2$	0	0	0	0	0	0	$2B_1$	$2B_2$	$-\!2B_6$	0	$-\!2B_4$	0
$F_3$	$2F_3$	$2(F_1\!\!-\!\!F_4)$	0	$-\!2F_3$	0	0	0	0	$2B_3$	$2B_4$	0	0	0	$-\!2B_5$	0	$-\!2B_7$
$F_4$	0	$-\!2F_2$	$2F_3$	0	0	0	0	0	0	0	$2B_3$	$2B_4$	0	$-\!2B_6$	0	$-\!2B_8$
$F_5$	0	0	0	0	0	$-\!2F_6$	$2F_7$	0	$2B_1$	0	$2B_3$	0	$-\!2B_5$	$-\!2B_6$	0	0
$F_6$	0	0	0	0	$2F_6$	0	$-\!2(F_5\!\!-\!\!F_8)$	$-\!2F_6$	$2B_2$	0	$2B_4$	0	0	0	$-\!2B_5$	$-\!2B_6$
$F_7$	0	0	0	0	$-\!2F_7$	$2(F_5\!\!-\!\!F_8)$	0	$2F_7$	0	$2B_1$	0	$2B_3$	$-\!2B_7$	$-\!2B_4$	0	0
$F_8$	0	0	0	0	0	$2F_6$	$-2F_7$	0	0	$2B_2$	0	$2B_4$	0	0	$-\!2B_7$	$-\!2B_8$
$B_1$	$-\!2B_1$	0	$-\!2B_3$	0	$-\!2B_1$	$-\!2B_2$	0	0	0	0	0	0	$-\!2(F_1\!\!+\!\!F_5)$	$-\!2F_2$	$-\!2F_7$	0
$B_2$	$-\!2B_2$	0	$-\!2B_4$	0	0	0	$-\!2B_1$	$-\!2B_2$	0	0	0	0	$-\!2F_6$	0	$-\!2(F_1\!\!+\!\!F_8)$	$-\!2F_2$
$B_3$	0	$-\!2B_1$	0	$-\!2B_3$	$-\!2B_3$	$-\!2B_4$	0	0	0	0	0	0	$-\!2F_3$	$-\!2(F_4\!\!+\!\!F_5)$	0	$-\!2F_2$
$B_4$	0	$-\!2B_2$	0	$-\!2B_4$	0	0	$-\!2B_3$	$-\!2B_4$	0	0	0	0	0	$-\!2F_6$	$-\!2F_3$	$-\!2(F_4\!\!+\!\!F_8)$
$B_5$	$2B_5$	$2B_6$	0	0	$2B_5$	0	$2B_7$	0	$2(F_1\!\!+\!\!F_5)$	$2F_6$	$2F_3$	0	0	0	0	0
$B_6$	0	0	$2B_5$	$2B_6$	$2B_6$	0	$2B_4$	0	$2F_2$	0	$2(F_4\!\!+\!\!F_5)$	$2F_6$	0	0	0	0
$B_7$	$2B_7$	$2B_4$	0	0	0	$2B_5$	0	$2B_7$	$2F_7$	$2(F_1\!\!+\!\!F_8)$	0	$2F_3$	0	0	0	0
$B_8$	0	0	$2B_7$	$2B_8$	0	$2B_6$	0	$2B_8$	0	$2F_2$	$2F_7$	$2(F_4\!\!+\!\!F_8)$	0	0	0	0

Tabla 1.- Tabla de paréntesis de Poisson de los generadores del Grupo Dinámico.

Es claro, de la tabla 1, que el conjunto de las $B'$s y $F'$s es cerrado bajo la operación de paréntesis de Poisson; entonces, constituye una álgebra de Lie [33]. Se trata ahora de identificarla.

Se hará la identificación del álgebra de Lie que se tiene por medio de su diagrama de Schouten [47]. Este diagrama se construye de la siguiente manera: se buscan los vectores raíces [48] (root vectors) del álgebra de Lie que se tiene; estos vectores raíces son elementos del espacio dual de las $B'$s y $F'$s para cuya identificación se usa la subálgebra de Cartan del álgebra bajo estudio [33]; ésta es una subálgebra que es nilpotente y además, su propio normalizador [33], estando constituida, salvo en casos excepcionales, por el conjunto máximo de elementos del álgebra que conmutan entre sí bajo paréntesis de Poisson. De entre los vectores raíces, se seleccionan las raíces simples (simple roots) [48] y de ellas se obtiene el diagrama de Schouten buscado, por un procedimiento que se describirá en el lugar apropiado.

La subálgebra de Cartan del álgebra de Lie que se tiene está constituida por los siguientes elementos:

$$H^I = - \frac i 2 (F_1 + F_4 + F_5 +F_8)$$ (14)

$$\varepsilon = - \frac i 4 (-F_1 -F_4 + F_5 +F_8)$$ (15)

$$P_\phi = - \frac i 4 (F_1 - F_4 - F_5 +F_8)$$ (16)

$${\cal R}_3 = - \frac i 4 (F_1 - F_4 + F_5 -F_8)$$ (17)

En la identificación de las sumas de los lados derechos de (15-17) se usaron las ecs. (164,170,174,89) de la sección I.C.

La elección anterior de elementos de la subálgebra de Cartan parece muy arbitraria; sin embargo, no lo es tanto si se examina con detenimiento de la tabla 1. Se comprueba en el cuadrante superior izquierdo de ésta que $F_1$, $F_4$, $F_5$, $F_8$, conmutan entre sí (bajo paréntesis de Poisson); para formar una subálgebra de Cartan, se deben añadir a los anteriores elementos todos aquellos tales que la condición de paréntesis de Poisson nulos entre miembros cualesquiera del conjunto formado se cumpla; sin embargo, es evidente, por inspección de la tabla 1, que no se puede añadir a este conjunto ninguna otra $F$ ni $B$, pues la relación de paréntesis de Poisson nulos no se conserva si se añade alguna. Entonces, $F_1$, $F_4$, $F_5$, $F_8$, junto con sus combinaciones lineales, constituyen una subálgebra de Cartan. Por inspección del cuadrante inferior derecho de la tabla 1, se concluye que con los elementos $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, se puede construir una subálgebra de Cartan, lo mismo que con los elementos $B_5$, $B_6$, $B_7$, $B_8$, sin embargo, se eligió formar la subálgebra de Cartan que se usaría con combinaciones lineales de $F_1$, $F_4$, $F_5$, $F_8$, pues en la sección I.C ya se construyó con ellas en conjunto de 4 expresiones con significado físico directo; dicho conjunto de expresiones es el que aparece en las ecs. (14,17). Que el conjunto (14,17) forma junto con $0$ (elemento nulo) una subálgebra, es obvio de su construcción, que dicha subálgebra es de Cartan se comprueba como sigue [33]: es nilpotente (por su definición), es su propio normalizador, se comprueba esto por inspección de la tabla 1: dada cualquier $F_l$ distinta de las que forman la subálgebra, es eigenfunción de alguna de estas últimas, bajo paréntesis de Poisson; lo mismo sucede con cada $B_l$; entonces, no existe una subálgebra que contenga propiamente a la obtenida y en la cual ésta sea un ideal [33].

Utilizando la tabla 1, se obtiene la tabla de paréntesis de Poisson de los miembros de la subálgebra de Cartan con las $B'$s y $F'$s (tabla 2).

1pt

[f,g]	$F_1$	$F_2$	$F_3$	$F_4$	$F_5$	$F_6$	$F_7$	$F_8$	$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$	$B_5$	$B_6$	$B_7$	$B_8$
$H$	0	0	0	0	0	0	0	0	$-2iB_1$	$-2iB_2$	$-2iB_3$	$-2iB_4$	$2iB_5$	$2iB_6$	$2iB_7$	$2iB_8$
$P_\phi$	0	$-iF_2$	$iF_3$	0	0	$-iF_6$	$iF_7$	0	0	$-iB_2$	$iB_3$	0	0	$-iB_6$	$iB_7$	0
$Z$	0	$-iF_2$	$iF_3$	0	0	$iF_6$	$-iF_7$	0	$-iB_1$	0	0	$iB_4$	$iB_5$	0	0	$-iB_8$
$\varepsilon$	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Tabla 2

Como se ve de la tabla 2, todos los eigenvalores son imaginarios. Para obtener eigenvalores reales, se trabajará con los operadores:

$$H' = {\textstyle \frac i 2} H^I$$ (18)

$$P'_\phi = i P_\phi$$ (19)

$${\cal R}'_3 = i {\cal R}_3$$ (20)

$$\varepsilon' = i \varepsilon$$ (21)

El $\frac 1 2$ que aparece en (18) es un factor de normalización adecuado.

Con estos miembros modificados de la subálgebra de Cartan (ecs. (18-21)), se tiene la siguiente tabla de paréntesis de Poisson (tabla 3):

2pt

[f,g]	$F_1$	$F_2$	$F_3$	$F_4$	$F_5$	$F_6$	$F_7$	$F_8$	$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$	$B_5$	$B_6$	$B_7$	$B_8$
$H'$	0	0	0	0	0	0	0	0	$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$	$-B_5$	$-B_6$	$-B_7$	$-B_8$
$P_\phi'$	0	$F_2$	$-F_3$	0	0	$F_6$	$-F_7$	0	0	$B_2$	$-B_3$	0	0	$B_6$	$-B_7$	0
$R_3'$	0	$F_2$	$-F_3$	0	0	$-F_6$	$F_7$	0	$B_1$	0	0	$-B_4$	$-B_5$	0	0	$B_8$
$\varepsilon'$	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Tabla 3

De la tabla 3, se obtienen directamente [33] los siguientes vectores raíces:

$$\begin{array}{\vert rcl\vert} \hline r_1 & = & (0,0,0) \ ... ...& (-1,-1,0) \\ r_{16} & = & (-1,0,1) \ \hline \end{array}$$

Tabla 4

Usando la tabla 4, se construye el diagrama de raíces [33] (root diagram) del álgebra de Lie que se tiene. Aunque no será usado más adelante, será incluído aquí pues es una herramienta muy útil, ya que, por su simple inspección [33], se tiene prácticamente toda la información contenida en la tabla 1, o sea, todas las relaciones de paréntesis de Poisson entre las $F'$s y $B'$s.

Figura I.5: Diagrama de raíces del álgebra de Lie constituída por las F's y B's.

Estudiando la tabla 4, se demuestra que:

$$S_{1r} = (1,1,0)$$ (22)

$$S_{2r} = (1,-1,0)$$ (23)

$$S_{3r} = (-1,0,-1)$$ (24)

Son raíces simples. La comprobación es la siguiente: un subconjunto $\{S_{vr}\}$ del conjunto de vectores raíces está constituído por raíces simples si y sólo si [48]:

Dados $\alpha, \beta \: \epsilon \: S_{vr} \Rightarrow$

$$\alpha \cdot \beta = 0$$ (25)

$$\mbox{\'o} \qquad \alpha \cdot \beta = -M \frac {\alpha \cdot \alpha} 2 = -N \frac {\beta \cdot \beta} 2$$ (26)

con $M,N$, enteros positivos:

En el caso de $S_{1r}$, $S_{2r}$, $S_{3r}$ dados por (22-24), se tienen los siguientes resultados:

Para $S_{1r}$ y $S_{2r}$:

$$S_{1r} \cdot S_{2r} = 0$$ (27)

Para $S_{1r}$ y $S_{3r}$:

$$S_{1r} \cdot S_{3r} = -1 = -1 \Big( \frac {2}{2}\Big) = (-1... ...c {S_{1r} \cdot S_{1r}} 2 = -1 \frac {S_{3r} \cdot S_{3r}} 2$$ (28)

$$\Rightarrow M=N=1$$

Para $S_{2r}$ y $S_{3r}$:

$$S_{2r} \cdot S_{3r} = -1 = -1 \Big(\frac 2 2\Big) = -1 \Big... ...g( \frac {S_{3r} \cdot S_{3r}} 2 \Big) \Rightarrow M=N=1$$ (29)

Comparando (27,28,29) con (25,26), se concluye que $S_{1r}$, $S_{2r}$, $S_{3r}$, son raíces simples.

Se demuestra fácilmente [48] que hay sólo 4 ángulos posibles entre vectores raíces simples: $90^\circ , 120^\circ , 135^\circ$ y $150^\circ$ . Además, sólo hay dos valores distintos (y distintos de 0) posibles para $S\cdot S$, siendo $S$ una raíz simple; de acuerdo con ésto, se dice que se tienen raíces simples ``largas" y ``cortas", dependiendo del valor de $S\cdot S$. Usando estas dos características de las raíces simples se construye el diagrama de Schouten del cual se habló anteriormente: se representa una raíz simple por un disco, el cual es blanco ($\circ$) si la raíz es larga y negro ($\bullet$) si la raíz es corta; estos discos se unen por un número de líneas que es función del ángulo $\theta$ entre las raíces simples correspondientes [48].

Si $\theta = 90^\circ$, los discos no se unen; si $\theta = 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ$, los discos se unen por 1, 2 y 3 líneas, respectivamente.

En nuestro caso, de la tabla 4 se demuestra que:

$$S_{1r} \cdot S_{1r} = S_{2r} \cdot S_{2r} =S_{3r} \cdot S_{3r} = 2$$ (30)

o sea, todas las raíces son de la misma longitud.

Respecto al ángulo $\theta$ se tiene que:

Para $S_{1r}$ y $S_{2r}$

$$\theta_{12} \ni S_{1r} \cdot S_{2r} = \sqrt {S_{1r} \cdot S_{1r}} \: \sqrt {S_{2r} \cdot S_{2r} } \: \cos \theta_{12}$$

$$\Rightarrow \quad \cos \theta_{12}=0 \qquad \Rightarrow \quad \theta_{12}=90^\circ$$ (31)

Para $S_{1r}$ y $S_{3r}$

$$\theta_{13} \ni S_{1r} \cdot S_{3r} = \sqrt {S_{1r} \cdot S_{1r}} \: \sqrt {S_{3r} \cdot S_{3r} } \: \cos \theta_{13}$$

$$\Rightarrow \quad \cos \theta_{13}=-\frac 1 2 \qquad \Rightarrow \quad \theta_{13 }=120^\circ$$ (32)

Para $S_{2r}$ y $S_{3r}$

$$\theta_{23} \ni S_{2r} \cdot S_{3r} = \sqrt {S_{2r} \cdot S_{2r}} \: \sqrt {S_{3r} \cdot S_{3r} } \: \cos \theta_{23}$$

$$\Rightarrow \quad \cos \theta_{23}=-\frac 1 2 \qquad \Rightarrow \quad \theta_{23}=120^\circ$$ (33)

Comparando lo dicho para diagramas de Schouten con los resultados (30-33), se tiene que el diagrama de Schouten es, en nuestro caso:

Figura I.6:

Este diagrama es el del álgebra de Lie correspondiente al grupo $SU(4)$, ésto parecería indicar que el grupo dinámico buscado es $SU(4)$. Sin embargo, según las consideraciones siguientes, el grupo dinámico resulta ser $SU(2,2)$. (Estos grupos están muy relacionados, pues $SU(4)$ es isomorfo al grupo de matrices $4 \times 4$ unitarias: conmutan todas con la identidad (``matriz métrica"); $SU(2,2)$ es el conjunto de matrices unitarias $4 \times 4$ que conmutan con una matriz diagonal con dos $1'$s y dos $-1'$s, pudiendo representarse la diagonal de esta matriz así: $( 1, 1,-1,-1)$.

Todos los elementos del álgebra de Lie del grupo buscado ($F'$s y $B'$s) conmutan, bajo paréntesis de Poisson, con $\varepsilon$. $\varepsilon$ define en el espacio vectorial de las $a_\ell^+, a_k^-$, un operador lineal, a partir del operador bilineal que son los paréntesis de Poisson [33]. Se trata, entonces, de diagonalizar este operador lineal para ver que tipo de ``matriz métrica" representa su matriz en la base de sus eigenvectores. Prácticamente, ésto ya está hecho pues, de las fórmulas (97,98) de la sección I.C, se tiene que las funciones que siguen ((34,35)), son tales que las funciones (34) son eigenvectores de $\varepsilon$ (en el sentido mencionado arriba) con eigenvalor $\frac i 2$, mientras que las funciones (35) lo son con eigenvalor $- \frac i 2$:

$$\left. \begin{array}{ccc} \mbox{b}_1^+ & = & a_1^+ + i a_... ...box{b}_4^+ & = & a_4^- + i a_3^- \end{array} \qquad \right\}$$ (34)

$$\left. \begin{array}{ccc} \mbox{b}_1^- & = & a_2^+ + i a_... ...box{b}_4^- & = & a_3^- + i a_4^- \end{array} \qquad \right\}$$ (35)

Entonces, la diagonal de la matriz asociada a $\varepsilon$ en la base $\{\mbox{b}_\ell^+, \mbox{b}_\ell^- \}$ se puede escribir en la forma: $\big[\frac i 2, \frac i 2, \frac {-i} 2, \frac {-i} 2, \frac i 2, \frac i 2, \frac {-i} 2, \frac {-i} 2\big]$. Ya que el factor $\frac i 2$ aparece en todos los eigenvalores, es irrelevante, por lo que se puede trabajar con el operador $\varepsilon$$''= -2 i$ $\varepsilon$, y se tiene que todos los elementos del álgebra de Lie también conmutan con $\varepsilon$$''$ bajo paréntesis de Poisson. En la base $\{\mbox{b}^+_\ell, \mbox{b}^-_\ell\}$, $\varepsilon$$''$ tiene asociada una matriz diagonal cuya diagonal se puede escribir en la forma: $[1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1]$. Esta matriz $8 \times 8$ sobre el espacio de los reales se puede hacer corresponder con una matriz $4 \times 4$ sobre el espacio de los complejos, la cual es diagonal, pudiéndose representar su diagonal en la forma: $[ {\bf 1}, {\bf 1}, -{\bf 1}, -{\bf 1} ]$, siendo 1 = (1,1) y -1 = (-1,-1), números complejos. Desde este punto de vista, los elementos del álgebra de Lie forman un álgebra isomorfa a la correspondiente al grupo de matrices en este espacio complejo de 4 dimensiones que conmutan con la ``matriz métrica" $[ {\bf 1}, {\bf 1}, -{\bf 1}, -{\bf 1} ]$. Entonces, el grupo de Lie que es grupo dinámico o de no-invariancia para nuestro problema es, efectivamente, $SU(2,2)$.