Tratamiento Hamiltoniano del problema

En unidades Gaussianas, el Lagrangiano para el problema de una partícula con carga eléctrica $e_2$ moviéndose en una región donde existen un potencial escalar $v$ y uno vectorial $\bar A$ está dado por [15]:

$$L = T - e_2 V + \frac{e_2}{c} \bar{A} \cdot \bar{v}$$ (1)

En la ec. (1), $T=\frac{1}{2} m v^2$ es la energía cinética de la partícula móvil.

Por el procedimiento habitual [16], se obtiene el Hamiltoniano correspondiente (suponiendo que $V$ no depende de velocidades):

$$\mathcal{H} = \frac{(\bar{p} - \frac{e_2}{c}\bar{A})^2}{2m} + e_2 V \eqno{(1\mbox{-a})}$$

Para el problema que se tiene, en el cual el potencial escalar correspondería al debido a una carga eléctrica de magnitud $e_1$ en el monopolo, se debería tener:

$$V = \frac{e_1}{p} \eqno{(1\mbox{-b})}$$

En la ec. (1-b), $p$ es la magnitud del vector $\bar{p}$ que une al monopolo electromagnético con la partícula móvil; para un sistema cartesiano con origen en dicho monopolo, $\bar p = (x,y,z)$.

Sin embargo, usando el potencial (1-b), la ecuación de Hamilton-Jacobi no es separable en las coordenadas cuadrático parabólicas empleadas (de hecho, no es separable en coordenadas conocidas (esféricas, parabólicas, cuaterniónicas). Como lo que interesaba era estudiar la simetría del problema usando un método que descansa en el uso de coordenadas de acción-ángulo, o sea, en la separabilidad de la ec. de Hamilton-Jacobi, se usó el potencial escalar:

$$V(p) = \frac{e_1}{p} + \frac{\varepsilon^2}{2me_2} \Big(\frac{1}{p^2}\Big) \eqno{(1\mbox{-c})}$$

En la ec. (1-c), $\varepsilon = \frac{e_2 g}{c}$, siendo $g$ la carga magnética del monopolo.

El problema parace ser, entonces, poco realista, pues para $p$ pequeña el término $\frac{\varepsilon^2}{2me_2} \big(\frac{1}{p^2}\big)$ es el más importante en 1-c. Sin embargo, cuando $p$ crece, el más importante es $\frac{e_1}{p}$.

Se dirá en lo siguiente un poco más sobre la influencia de $\frac{\varepsilon^2}{2me_2} \big(\frac{1}{p^2}\big)$ en el Hamiltoniano.

Sea $H_1$ el Hamiltoniano obtenido de (1-a) al incluir el potencial (1-b). Sea $H$ el obtenido de incluir (1-c) en (1-a). Se sabe [17] que, para un sistema dado, el Hamiltoniano genera una transformación canónica infinitesimal que describe el cambio infinitesimal de coordenadas y momenta en el tiempo; por aplicación sucesiva de esta transformación, con el tiempo como parámetro, se genera el desarrollo (movimiento) del sistema con el tiempo en el espacio fase. Desde este punto de vista, se puede decir que el Hamiltoniano general el movimiento del sistema en el tiempo, a partir de las condiciones iniciales. Supóngase que a un tiempo $t$ a partir del tiempo $t_0$ al cual se dan las condiciones iniciales, $H_1$, de acuerdo con lo que se acaba de decir, da lugar a una trayectoria (que será la del sistema real). Como, cuando $p \to \infty$, $H \to H_1$ se espera cierto tipo de continuidad, en el sentido de que, si el movimiento tiene lugar de tal manera que $p$ siempre es grande (por condiciones iniciales apropiadas), la trayectoria en el espacio fase generada por $H$ debe ser muy parecida (cercana en cada punto) a la generada por $H_1$. O sea, para $p$ grande, se espera que $H$ describa con buena aproximación al problema real. Los argumentos anteriores se basan en consideraciones de estabilidad de las ecuaciones canónicas, las cuales no se demostraron por su dificultad y porque no se usará dicha demostración más adelante.

Desde otro punto de vista, de acuerdo con el teorema de órbitas revolventes de Newton [18], el efecto del término $\frac{\varepsilon^2}{2me_2} \big(\frac{1}{p^2}\big)$ es causar una precesión de la órbita ( ya que $\frac{\varepsilon^2}{2m} > 0$, se tendrá un retardamiento). Es claro que, para pequeñas cargas magnéticas, la interacción de tipo magnético podrá tratarse como una perturbación de la puramente coulómbica, en cuyo caso, efectivamente, el único efecto de $\frac{\varepsilon^2}{2me_2} \big(\frac{1}{p^2}\big)$ en el movimiento total será una precesión de la órbita de la partícula móvil, la cual es casi plana para $\varepsilon$ pequeña, de acuerdo con las fórmulas (7,9) de la sección I-B.

Otra de las razones por las cuales se introduce el término $\frac{\varepsilon^2}{2me_2} \big(\frac{1}{p^2}\big)$ es la siguiente: el Hamiltoniano del problema de Coulomb en coordenadas plano polares $[\rho , \psi]$ se puede escribir en la forma [19]:

$$\mathcal{H}_1 = \frac{p^2_{\rho}}{2m} + \frac{\bar L^2}{2mp^2} + \frac{e_1 e_2}{p} \eqno{(1\mbox{-d})}$$

Sin embargo, en coordenadas esféricas $[\rho,\theta,\phi]$, se puede escribir el Hamiltoniano (1-a) en la forma [20]:

$$\mathcal{H}_2 = \frac{p^2_{\rho}}{2m} + \frac{\bar{D}^2}{2m... ...}{2m} \Big(\frac{1}{p^2}\Big) + e_2 V \eqno{(1\mbox{-e})}$$

Entonces, se ve que, si $\bar{D}$ (dado por la ec. (7) de la sección 1-B), va a tomar el papel de $\bar{L}$ para el problema tradicional de Coulomb, al emplear $V$ dado por (1-c) en (1-e), se obtiene una expresón análoga a (1-d), por lo que se espera encontrar, en este caso, el mismo tipo de simetría que en el problema de Coulomb.

Entonces, el Hamiltoniano que se estudiará es:

$$H = \frac{(\bar {p} - \frac{e_2}{c} \bar{A})^2}{2m} + \frac... ... e_2}{p} + \frac{\varepsilon^2}{2m} \Big(\frac{1}{p^2}\Big)$$ (2)

Como se dijo en la Introducción, se usará el potencial vectorial:

$$\bar{A} = \frac{g z}{p(x^2 + y^2)} (y, -x, 0) \eqno{(2\mbox{-a})}$$

Se basará la discusión en el uso de coordenadas paraboloidales o cuadrático-parabólicas $[\mu, \nu, \phi]$, definidas por:

$$\mathcal{X} = \mu \nu \mbox{cos} \phi$$ (3)

$$\mathcal{Y} = \mu \nu \mbox{sen} \phi$$ (4)

$$\mathcal{Z} = \frac {1}{2} (\mu^2 - \nu^2)$$ (5)

con $\mu \ge 0$, $\nu \ge 0$, $0\le \phi < 2 \pi$.

Un interés esencial que existe para usar estas coordenadas consiste en que son tales que las superficies $\mu = \mbox{cte.}$ & $\nu = \mbox{cte.}$ son simétricas con respecto a rotaciones que tengan como eje al eje Z. como se vió en la Introducción, este eje es muy especial, pues se escogió el sistema de coordenadas de tal manera que el eje Z tiene la dirección del vector $\widehat {n}$ que aparece en $\bar A$ (fórmula (13) Introducción); o viceversa, dado el sistema coordenado [x, y, z,] se escogió $\widehat n$ tal que tuviera la dirección del eje Z. Lo anterior se refleja en la forma tan simple en que depende $\bar A$ de $\phi$, el expresarse en las nuevas coordenadas (o sea, al expresar sus componentes Ax,Ay,Az en las nuevas coordenadas); también, cuando $\bar A$ se expresa, digamos, en coordenadas esféricas $[\rho,\theta,\phi]$ (se le considera como un vector y se le somete a un cambio de coordenadas), se obtienen las siguientes componentes, teniendo $\phi$ el mismo significado geométrico que en las coordenadas cuadrático-parabólicas [21].

$$A_\rho = 0 , \;\; A_\theta = 0 ,\;\; A_\phi = -\frac{g \mbox{cos}\theta}{\rho^2 \mbox{sen}^2 \theta}$$

Además, al usar estas coordenadas, se obtiene, expresando al Hamiltoniano en función de ellas, una expresión remarcablemente simétricas (ec. (17)), la cual facilita la determinación de su grupo de simetría. Se comprueba directamente que, usando $\bar A_1$ (ec. (14) Introducción), el Hamiltoniano obtenido en estas coordenadas pierde bastante de su simetría funcional.

Se dará ahora la interpretación geométrica de las coordenadas que se usarán. De las ecs. (3,4,5):

$$p = \frac{1}{2} (\mu^2 + \nu^2)$$ (6)

$$\mu^2 = p + z$$ (7)

$$\nu^2 = p - z$$ (8)

De las ecs. (7, 8), introduciendo $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, se obtiene:

$$r^2 = - 2\mu^2 (z - \frac{\mu^2}{2})$$ (9)

$$r^2 = 2\nu^2 (z + \frac{\nu^2}{2})$$ (10)

Para cada valor de $\mu$ , la ec. (9) es la de una parábola con foco en $Z = 0$, vértice en $Z = \frac{\mu^2}{2}$, con eje $Z$ y que se abre hacia la izquierda. Para cada valor de $\nu$, la ec. (10) es la de una parábola con foco en $Z = 0$, vértice en $Z = - \frac{\nu^2}{2}$, eje el eje $Z$ y que se abre hacia la derecha. Entonces, al variar los parámetros $\mu$ y $\nu$, se obtiene un conjunto de parábolas (estrictamente, media parábolas, pues $r \ge 0$), confocales en el origen ($Z = 0$). Como el análisis anterior es válido para cualquier plano $\phi = \mbox{cte.}$, es claro que, al variar $\mu, \nu \mbox{y} \phi$, se obtendrá, en 3 dimensiones, un conjunto de paraboloides de revolución confocales en el origen que ``barren" todo el espacio.

Entonces, para localizar geométricamente el punto

$$\bar Q = (x_0, y_0, z_0) = (\mu_0, \nu_0, \phi_0)$$

se hace la construcción siguiente, Fig I.4.

Figura I.4:

Se pasará ahora de la descripción (ec. (2)) en términos de las coordenadas y momenta canónicos $[X, Y, Z, P_x, P_y, P_z]$ a otra en términos de coordenadas $[\mu, \nu, \phi]$ y momenta canónicos $[P_\mu, P_\nu, P_\phi]$ por medio de una transformación canónica con función generadora [12]:

$$F(X, Y, Z, P_\mu, P_\nu, P_\phi) = [(X^2+Y^2+Z^2)^\frac{1}{2} + z]^\frac {1}{2} P_\mu +$$

$$[(X^2+Y^2+Z^2)^\frac{1}{2} - z]^\frac{1}{2} P_\nu +$$

$$(arc \mbox{tan} \frac{Y}{X}) P_\phi$$ (11)

Usando las relaciones [31]:

$$P_X = \frac{\partial F}{\partial X},\;\;\;P_Y = \frac{\partial F}{\partial Y}, \;\;\;P_Z = \frac{\partial F}{\partial Z},$$

se obtiene:

$$P_X = \frac{\mbox{cos} \phi}{\mu^2 + \nu^2} (\mu P_{\nu} + \nu P_{ \mu}) - \frac{\mbox{sen} \phi}{\mu \nu}P_{\phi}$$ (12)

$$P_Y = \frac{\mbox{sen} \phi}{\mu^2 + \nu^2} (\mu P_{\nu} + \nu P_{\mu}) + \frac{\mbox{cos} \phi}{\mu \nu}P\phi$$ (13)

$$P_Z = \frac{\mu P_\mu - \nu P_\nu}{\mu^2 + \nu^2}$$ (14)

Para el potencial $\bar{A}$ se tiene que:

$$\bar{A} = \frac{gz}{p(x^2 + y^2)} (y_1 - x, 0) = \frac{... ...nu (\mu^2 + \nu^2)} (\mbox{sen}\phi, -\mbox{cos}\phi, 0)$$ (15)

Entonces $H_1$, obtenido de introducir (1-b) en la ec. (1-a), toma la siguiente forma en este nuevo conjunto canónico:

$$H_1 = \frac{(\bar{p} - \frac{e_2}{c} \bar{A})^2}{2m} + \frac{e_1 e_2}{p} =$$

$$= \frac{(\mu^2 + \nu^2)^{-1}}{2m}\Big[ P^2_\mu + P^2_\nu + \frac{(P_\phi - \varepsilon)^2}{\mu^2} + \frac{(P_\phi + \varepsilon)^2}{\nu^2}\Big] +$$

$$\frac{2e_1 e_2}{\mu^2 + \nu^2} + \frac{\varepsilon^2}{2m} \Big(\frac{2}{\mu^2 + \nu^2}\Big)^2$$ (16)

Es aquí donde se ve la necesidad de trabajar con $H=H_1 + \frac{\varepsilon^2}{2m} \big(\frac{2}{\mu^2 + \nu^2}\big)^2 = H_1 + \frac{\varepsilon^2}{2m} \big(\frac{1}{p^2}\big)$, pues, debido a la presencia de $(\mu^2 + \nu^2)^2$ en un denominador en la ec. (16), la ecuación de Hamilton-Jacobi correspondiente no es separable en estas coordenadas cuadrático-parabólicas.

Entonces:

$$H = \frac{1}{2m (\mu^2 + \nu^2)} [P^2_\mu + P^2_\nu + ... ...mu^2} + \frac{(P_\phi + \varepsilon)^2}{\nu^2} + 4 me_1 e_2]$$ (17)

De la ec. (17) es aparente la simetría funcional del Hamiltoniano cuando se expresa en términos de las coordenadas que se están usando.

La ecuación de Hamilton-Jacobi para (17) es [23]:

$$\frac{1}{2m (\mu^2 + \nu^2)} \Big[\Big(\frac{\partial S}{\p... ...{\nu^2} + 4me_1 e_2\Big] + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$$ (18)

Ya que $H$ no depende explícitamente de $t$ ni de $\phi$ (ec. 17), se puede probar como solución a la ec. (18) la función [24]:

$$S (\mu, \nu, \phi, t) = S_\mu (\mu) + S_\nu (\nu) + M\phi - Et$$ (19)

Con $M = \frac{\partial S}{\partial \phi} = P_\phi = \mbox{cte}.$ y $E = - \frac{\partial S}{\partial t} = H = \mbox{cte}.$ = energía total del sistema, pues los potenciales (escalar y vectorial) no dependen de velocidades y las ecuaciones de transformación (3,4,5) no contienen al tiempo explícitamente [25]. De las ec. (18,19):

$$\frac{1}{2m (\mu^2 + \nu^2)} \Big[\Big(\frac{dS_\mu}{d\mu}\... ... \frac{(M + \varepsilon)^2}{\nu^2} + 4me_1 e_2 \Big] - E = 0$$ (20)

La ecuación diferencial (20) se puede separar de las siguiente manera:

$$\Big(\frac{dS_\mu}{d\mu}\Big)^2 + \frac{(M - \varepsilon)^2}{\mu^2} - 2mE\mu^2 + 2me_1 e_2 = \alpha$$ (21)

$$\Big(\frac{dS_\nu}{d\nu}\Big)^2 + \frac{(M + \varepsilon)^2}{\nu^2} - 2mE\nu^2 + 2me_1 e_2 = -\alpha$$ (22)

Siendo $\alpha$ la constante de separación. Haciendo $H_1 \dot{=} - 2me_1 e_2 + \alpha$,
$H_2 = - 2me_1 e_2 - \alpha$, (21) y (22) se convierten en:

$$\mathcal{H}_1 = P^2_\mu + \frac{(M - \varepsilon)^2}{\mu^2} + A\mu^2$$ (23)

$$\mathcal{H}_2 = P^2_\nu + \frac{(M + \varepsilon)^2}{\nu^2} + A\nu^2$$ (24)

Con $A = -2mE$. Las expresiones (23) y (24) corresponden formalmente a Hamiltonianos de dos osciladores armónicos, lo que será más aparente al introducir nuevas coordenadas en (23) y (24) por medio de las siguientes funciones generadoras [22]:

Para (23), sea $P_\Omega = M - \varepsilon$ y sea $\Omega$ su variable canónicamente conjugada; sea la función generadora:

$$F_2 (\mu, \Omega, P_{\mbox{X}1}, P_{\mbox{Y}1}) = \mu ... ...Omega P_{\mbox{X}1} + \mu \mbox{sen}\Omega P_{\mbox{Y}1}$$ (25)

Entonces: [22]

$$P_\mu = \frac{\partial F_2}{\partial \mu} = \mbox{cos}\Omega P_{\mbox{X}1} + \mbox{sen}\Omega P_{\mbox{Y}1}$$ (26)

$$P_\Omega = \frac{\partial F_2}{\partial \Omega} = -\mu \mbox{sen} \Omega P_{\mbox{X}1} + \mu \mbox{cos} \Omega P_{\mbox{Y}1}$$ (27)

$$X_1 = \frac{\partial F_2}{\partial P_{\mbox{X}1}} = \mu \mbox{cos} \Omega$$ (28)

$$Y_1 = \frac{\partial F_2}{\partial P_{\mbox{Y}1}} = \mu \mbox{sen} \Omega$$ (29)

Entonces, $\mathcal{H}_1$ queda en la forma:

$$\mathcal{H}_1 = P^2_{\mbox{X}1} + P^2_{\mbox{Y}1} + A (X^2_1 + Y^2_1)$$ (30)

Similarmente, para (24), definiendo $P_\triangle \dot{=} M + \varepsilon$ con $\triangle$ su variable canónica conjugada y usando la función generadora:

$$F_2 (\nu, \triangle, P_{\mbox{X}2}, P_{\mbox{Y}2}) = \nu \... ..._{\mbox{X}2} + \nu \mbox{sen}\triangle P_{\mbox{Y}2}$$ (31)

se llega a la expresión:

$$\mathcal{H}_2 = P^2_{\mbox{X}2} + P^2_{\mbox{Y}2} + A (X^2_2 + Y^2_2)$$ (32)

Las expresiones (30,32) son formalmente idénticas, para $A>0 \; (\Rightarrow E<0)$ a los Hamiltonianos de osciladores armónicos bidimensionales isotrópicos [26] con constantes de fuerza $A = -2mE$ idénticas. La simetría del oscilador armónico bidimensional ha sido estudiada en forma completa [26], resultando ser que su grupo de simetría es $SU(2) \sim 0^+(3)$. Esto sugiere que el grupo de simetría para $H$ está relacionado con $0^+(3) \times 0^+(3)$. Sin embargo, hay algunas dificultades para establecer esta relación: $P_\Omega$ & $P\triangle$ no son funciones independientes, pues de su definición, se tiene que:

$$P_\triangle - P_\Omega = 2\varepsilon = \mbox{cte}.$$ (33)

Otra dificultad, que impide obtener los generadores del grupo de simetría del Hamiltoniano H a partir directamente de los dados en la ref. [26], consiste en que, en esta última, la construcción de los generadores de $0^+(3)$ se hace basándose en expresiones del tipo:

$$P_x \pm ix , P_y \pm iy$$

Sin embargo, según se verá más adelante (ec. 80), las cantidades correspondientes obtenidas para H son del tipo:

$$(p \pm q) e^f$$

siendo $f$ una función de las coordenadas y momenta canónicos $\mu, \nu, P_\mu, P_\nu$. La aparición de este factor $e^f$ dificulta, entonces, el procedimiento de extender directamente los generadores de $0^+(3)$ dados en la ref. [26], para obtener los de grupo de simetría de este problema.

El procedimiento que se sigue en la obtención del grupo de simetría de $H$ es el siguiente: se define un nuevo momento $P_\gamma = \varepsilon$ en $H$, siendo $\gamma$ su variable canónica conjugada. Esto equivale a trabajar en un espacio fase de 8 dimensiones, siendo de 6 el apropiado al problema; o sea, implica el uso de multiplicadores de Lagrange [17], lo cual, de hacerse, complicaría todas las ecuaciones; para evitar lo anterior, se tratará a $\gamma$ y $P_\gamma$ como otras variables canónicas independientes. Con ésto, se facilita la introducción de variables de acción-ángulo, por la simetría que adquiere el ``nuevo Hamiltoniano" (ec. 52); como $\gamma$ es cíclica en el ``nuevo'' $H$ $(\Rightarrow \varepsilon = P_\gamma = cte.)$, ésto no acarrea problemas. Ya que el ``nuevo $H$'' es función sólo de la suma de las variables de acción-ángulo, es aplicable un procedimiento debido a V. A. Dulock y H. V. McIntosh [28] para hallar las constantes del movimiento, el cual depende de este hecho. Del conjunto de constantes del movimiento obtenidos se escogen como aceptables sólo aquellas tales que sus paréntesis de Poisson con $\varepsilon$ sean 0. La razón para ésto es la siguiente:

El movimiento debe tener lugar en el hiperplano del espacio fase cuya ecuación es: $\varepsilon = P_\gamma=\frac {e_2g} c = \mbox{cte.}$ Cada constante del movimiento, $G$, es una función de las coordenadas y momenta canónicas que genera una transformación canónica infinitesimal tal que [29]:

$$\delta \; \mu = \eta \; [ \mu, G]$$

siendo $\eta$ el parámetro de la transformación infinitesimal y $\mu$ cualquier función de las variables y momenta canónicos. Siendo $\delta q \; \& \; \delta p$ los cambios de las variables y momenta canónicas producidos por la transformación, se tiene que [29]:

$$\delta\mu = \mu (q + \delta q , p + \delta p) - \mu (q , p)$$

En particular, para $\mu = \varepsilon = P_\gamma$, se tiene que el cambio de $\varepsilon$ producido por la transformación infinitesimal generada por $G$ está dado por:

$$\delta\varepsilon = \eta[\varepsilon , G]$$

Como el movimiento del sistema real es tal que en el espacio fase se está restringido al hiperplano $\varepsilon = \mbox{cte}.$, se debe tener que, para cualquier transformación del sistema, $\delta\varepsilon = 0$. Entonces, cuando esta transformación corresponde a una del tipo que se está tratando, de la fórmula de arriba, se tiene que, siendo $\eta$ arbitrario:

$$\delta\varepsilon = 0 \Longleftrightarrow [\varepsilon , G] = 0$$

Es importante notar que el Hamiltoniano en un espacio fase de 8 dimensiones del que se habló anteriormente, no corresponde a un sistema físico análogo al original, con la única diferencia de que ahora $\varepsilon$ sea variable con el tiempo, pues un sistema así no puede existir en la naturaleza, si se aceptan como verdaderas las ecuaciones de Maxwell generalizadas dadas por las ecs. (3) de la introducción. Es sencillo demostrar que estas ecuaciones implican las leyes de conservación de las cargas eléctricas y magnéticas, en forma de las ecuaciones de continuidad:

$$\nabla \cdot \bar{J}e = - \frac{\partial J^0_e}{\partial t}$$

$$\nabla \cdot \bar{J}g = - \frac{\partial J^0_g}{\partial t}$$

Entonces, sí $\frac{\partial\varepsilon}{\partial t} \neq 0 \Rightarrow$

$$\frac{\partial e_2}{\partial t} \neq 0 \Rightarrow \frac{\p... ...\partial t} \neq 0 \Rightarrow \nabla \cdot \bar{J}_e \neq 0$$

ó

$$\frac{\partial g}{\partial t} \neq 0 \Rightarrow \frac{\par... ...\partial t} \neq 0 \Rightarrow \nabla \cdot \bar{J}_g \neq 0$$

(o ambas). O sea, se produce una densidad de corriente eléctrica $\bar{J}_e$ y/o magnética $\bar{J}_g$ cuyo efecto, dado por la fuerza de Lorentz generalizada (ec. (4) de la Introducción), debe ser incluído en un Hamiltoniano que describa a este sistema (si es que puede construirse este Hamiltoninano, o sea, si es que existe alguna función U tal que se cumple la ec. (12) de la Introducción).

Siguiendo el programa que se acaba de trazar, se cambiará de las coordenadas

$$\{\mu, \nu, \phi, \gamma, P_\mu, P_\nu, P_\phi, \varepsilon\}$$

a un nuevo conjunto canónico

$$\{\mu, \nu, \theta, \delta, P_\mu, P_\nu, P_\theta, P_\delta\}$$

por medio de la siguiente función generadora (para dar al Hamiltoniano una forma más simétrica):

$$F(\mu, \nu,P_\mu, P_\nu, P_\phi, \varepsilon, \theta, \delt... ...) \theta - (P_\phi + \varepsilon)\delta \eqno{(33\mbox{-a})}$$

Entonces [22]:

$$\phi = - \frac{\partial F}{\partial P_\phi} = \theta + \delta$$ (34)

$$\gamma = - \frac{\partial F}{\partial \varepsilon} = \delta - \theta$$ (35)

$$P_\theta = - \frac{\partial F}{\partial \theta} = P_\phi - \varepsilon = M - \varepsilon$$ (36)

$$P_\delta = - \frac{\partial F}{\partial \delta} = P_\phi + \varepsilon = M + \varepsilon$$ (37)

De las ecuaciones (17,36,37):

$$H = \frac{1}{2m(\mu^2 + \nu^2)} [ P^2_\mu + P^2_\nu + \frac{P^2_\theta}{\mu^2} + \frac{P^2_\delta}{\nu^2} + 4me_1 e_2]$$ (38)

Se introducirá ahora un sistema de coordenadas canónicas $\{q_1, q_2, q_3, q_4, p_1, \ p_2, p_3, p_4\}$ en el cual la ecuación de Hamilton-Jacobi es separable (completamente) de una manera uniforme: el mismo tipo de ecuación diferencial se obtiene para cada coordenada; esto es con el objeto de calcular las variables de acción y ángulo. Sea la función generadora:

$$F (\mu, \nu, \theta, \delta, P_1, P_2, P_3, P_4) = \mu \... ... \mbox{cos} \delta P_3 + \nu \mbox{sen} \delta P4_4$$ (39)

Entonces:

$$q_1 = \frac{\partial F}{\partial P_1} = \mu \mbox{cos} \theta$$ (40)

$$q_2 = \frac{\partial F}{\partial P_2} = \mu \mbox{sen} \theta$$ (41)

$$q_3 = \frac{\partial F}{\partial P_3} = \nu \mbox{cos} \delta$$ (42)

$$q_4 = \frac{\partial F}{\partial P_4} = \nu \mbox{sen} \delta$$ (43)

$$P_\mu = \frac{\partial F}{\partial \mu} = \mbox{cos} \theta P_1 + \mbox{sen} \theta P_2$$ (44)

$$P_\nu = \frac{\partial F}{\partial \nu} = \mbox{cos} \delta P_3 + \mbox{sen} \delta P_4$$ (45)

$$P_\theta = \frac{\partial F}{\partial \theta} = -\mu \mbox{sen} \theta P_1 + \mu \mbox{cos} \theta P_2$$ (46)

$$P_\delta = \frac{\partial F}{\partial \delta} = -\nu \mbox{sen} \delta P_3 + \nu \mbox{cos} \delta P_4$$ (47)

De las ecuaciones (44-47):

$$P_1 = \mbox{cos} \theta P_\mu - \mbox{sen} \theta \frac{P_\theta}{\mu}$$ (48)

$$P_2 = \mbox{sen} \theta P_\mu + \mbox{cos} \theta \frac{P_\theta}{\mu}$$ (49)

$$P_3 = \mbox{cos} \delta P_\nu - \mbox{sen} \delta \frac{P_\delta}{\nu}$$ (50)

$$P_4 = \mbox{sen} \delta P_\nu + \mbox{cos} \delta \frac{P_\delta}{\nu}$$ (51)

Las ecuaciones (40-43) y (42-50) servirán para regresar, posteriormente, al sistema $\{\mu, \nu, \theta, \delta, P_\mu, P_\nu, P_\theta, P_\delta\}$.

En las nuevas coordenadas, el Hamiltoniano toma la forma:

$$H = \frac{1}{2m (q^2_1 + q^2_2 + q^2_3 + q^2_4)} [P^2_1 + P^2_2 + P^2_3 + P^2_4 + 4me_1 e_2]$$ (52)

La ecuación de Hamilton-Jacobi correspondiente es:

$$\frac{1}{2m (q^2_1 + q^2_2 + q^2_3 + q^2_4)} \Big[\Big(\fr... ...Big)^2 + 4me_1 e_2\Big] + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$$ (53)

Se propone una solución del tipo [24]:

$$S = \sum_{\ell = 1}^4 S_\ell (q_\ell) - Et$$ (54)

(No se incluye la dependencia en $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$, los nuevos momenta -constantes- por razones de espacio). $E$ es la energía total.

De (53) y (54):

$$\frac{1}{2m \sum_{\ell = 1}^4 q^2_\ell} \Big[\sum_{\ell... ... \Big(\frac{dS_\ell}{dq_\ell}\Big)^2 + 4me_1 e_2\Big] - E = 0$$ (55)

La ecuación (55) es separable en la forma:

$$\Big(\frac{dS_\ell}{dq_\ell}\Big)^2 - 2mE q^2_\ell = \alpha_\ell$$ (56)

$$(\ell = 1,2,3)$$

Con $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \mbox{ ctes.}$ de separación (nuevos momenta)

$$\Big(\frac{dS_4}{dq_4}\Big)^2 - 2mE q^2_4 = - (4me_1 e_2 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$$ (57)

El momento $\alpha_4$ es igual a $- (4me_1 e_2 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$.

Las ecuaciones (56) y (57) equivalen a:

$$P_\ell = \sqrt{\alpha_\ell + 2mE q^2_\ell}$$ (58)

$$(\ell = 1,2,3)$$

$$P_4 = \sqrt{(-4me_1 e_2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3) + 2mE q^2_4}$$ (59)

Como se está trabajando con coordenadas y momenta reales, se debe tener:

Para $\ell = 1,2,3 \;$:

$$\alpha_\ell + 2mE q^2_\ell \ge 0$$ (60)

$$\Rightarrow 2mE q^2_\ell \ge - \alpha$$ (61)

Si $+2mE>0$, o sea, si $E>0$, es claro que de (61) no se pueden obtener cotas para $q^2_\ell$ o sea, no se puede obtener un rango de variación finito para $q_\ell$, por lo que, tomando en cuenta a (58), se ve que es imposible obtener un movimiento periódico. Esto impone la restricción (importante) $E<0$ para movimiento acotado, la cual ya fue hallada cuando se separó la ecuación de Hamilton-Jacobi en dos ecuaciones que correspondían formalmente a Hamiltonianos de osciladores armónicos bidimensionales (ecs. (23,24)). Entonces, para $E<0$, de (61):

$$q^2_\ell \le - \frac{\alpha_\ell}{2mE}$$ (62)

Lo cual implica que $\alpha_\ell \ge 0$. Entonces de (62):

$$\arrowvert q_\ell \arrowvert \le \sqrt{-\frac{\alpha_\ell}{2mE}}$$ (63)

$$\Rightarrow - \sqrt{-\frac{\alpha_\ell}{2mE}} \le q_\ell \le \sqrt{-\frac{\alpha_\ell}{2mE}}$$ (64)

O sea, se obtiene un movimiento de tipo libratorio. [30]

Para $P_4$, se tiene:

$$- (4me_1 e_2 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) + 2mE q^2_4 \ge 0$$ (65)

Ya que $E<0$, entonces:

$$q^2_4 \le \frac{4me_1 e_2 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3}{2mE}$$ (66)

Esto implica que $4me_1 e_2 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 \le 0$, o sea, que:

$$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 \le - 4me_1 e_2$$ (67)

Pero, según lo que se demostró para $\ell = 1,2,3, \; \alpha_\ell \ge 0\;$. Entonces, $-4me_1 e_2 \ge 0\;$. Esto implica otra importante restricción (no muy independiente de $E<0$) para tener movimiento periódico: las cargas $e_1$ y $e_2$ deben ser de signos contrarios (para que se pueda cumplir que $-4me_1 e_2 \ge 0\;$).

De la ecuación (66):

$$- \sqrt{\frac{4me_1 e_2 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3}{2... ...\sqrt{\frac{4me_1 e_2 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3}{2mE}}$$ (68)

Resumiendo se ha obtenido un movimiento de tipo libratorio en el espacio fase $\{q_1, q_2, q_3, q_4, P_1, P_2, P_3, P_4\}\;$ imponiendo las restricciones $E<0$ y $e_1,\;e_2$ de signos opuestos.

Ahora, se calcularán las variables de acción [30]:

Para $\ell = 1,2,3 \;$:

$$J_\ell = \oint P_\ell d q_\ell = \int_{-\sqrt{- \frac{\... ...mE q^2_\ell} dq_\ell = \frac{\pi \alpha_\ell}{\sqrt{-2mE}}$$ (69)

Para $\ell = 4\;$, por un procedimiento análogo se obtiene;

$$J_4 = \frac{-\pi(4me_1 e_2 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)}{\sqrt{-2mE}}$$ (70)

Es obvio de (69) y (70) que:

$$J_1 + J_2 + J_3 + J_4 = \frac{-4\pi me_1 e_2}{\sqrt{-2mE}}$$ (71)

O sea que:

$$E = H = -\frac{8\pi^2 me^2_1 e^2_2}{(J_1 + J_2 + J_3 + J_4)^2}$$ (72)

Es claro de la ec. anterior que las frecuencias del movimiento son todas iguales [30], o sea, el movimiento es completamente degenerado. Estas frecuencias están dadas, para $\ell = 1,2,3,4,\;$ por [30]:

$$f_\ell = \frac{\partial H}{\partial J_\ell} = \frac{1}{2\p... ... \Big[-\frac{2E^3}{m}\Big]^\frac{1}{2} \eqno{(72\mbox{-a})}$$

Los períodos están dados, con $K=2\vert e_1 e_2\vert\;$, por:

$${\cal T}_\ell = \frac{1}{f_\ell} = \pi K \sqrt{\frac{m}{-2E^3}} \eqno{(72\mbox{-b})}$$

Esta última expresión es idéntica a la que se tiene para el problema de Kepler [31].

La relación (72) es fundamental en todo lo que sigue, pues, como ya se dijo anteriormente, el procedimiento de Dulock-McIntosh depende de la condición [28] $E = H = H (\sum_\ell J_\ell)$.

Debido a que serán usadas más adelante, se calcularán ahora las variables de ángulo $W_\ell$ $(\ell = 1,2,3,4)$ se tiene que:

$$W_\ell \dot{=} \frac{\partial W}{\partial J_\ell} = \f... ...ll=1} S_\ell (q_\ell, J_1, J_2, J_3, J_4))}{\partial J_\ell}$$ (73)

Con $W (q_1, q_2, q_3, q_4, J_1, J_2, J_3, J_4) = \sum^4_{\ell=1} S_\ell (q_\ell, J_1, J_2, J_3, J_4) =$ función característica de Hamilton:

De las ecuaciones (56, 59, 69, 70,72):

$$P_\ell = \frac{dS_\ell}{dq_\ell} = \frac{(4me_1 e_2 J J_\ell - 16 \pi^2 m^2 e^2_1 e^2_2 q^2_\ell)^\frac{1}{2}}{J}$$ (74)

Con $J = J_1+J_2+ J_3+ J_4$. Sean:

$$A = 4m \arrowvert e_1 e_2 \arrowvert$$ (75)

$$B = 16\pi^2 m^2 e^2_1 e^2_2$$ (76)

Entonces, de (73, 76) (para raíces de A y B se tomará siempre el signo positivo, o sea, $B^\frac{1}{2} = 4\pi m \arrowvert e_1 e_2 \arrowvert$:

$$W_\ell = \frac{\partial W}{\partial J_\ell} = \frac{\partial}{\partial J_\... ... \left[\sum^4_{k=1} \int \frac{(AJ J_k - Bq^2_k)^\frac{1}{2}}{J} dq_k\right] =$$

$$= -\frac{1}{2J} \sum^4_{k=1} q_k p_k + \frac{1}{2\pi} arc \mbox{sen} \frac{\sqrt{{B}} q_\ell}{\sqrt{A J J_\ell}}$$ (77)

O sea:

$$2\pi W_\ell = arc \mbox{sen} \frac{B^{\frac{1}{2}} q_\... ...J J_\ell)^{\frac{1}{2}}} - \frac{\pi}{J} \sum^4_{k=1} q_k P_k$$ (78)

Lo anterior para $\ell = 1, 2, 3, 4$. En la integración (77), se despreciaron constantes de integración.

Siguiendo el procedimiento de Dulock-McIntosh, se introducirán ahora nuevas coordenadas $\{ a^+_\ell, a^-_\ell \}$ con $\ell = 1,2,3,4,$ dadas por:

$$a^\pm_{\ell} = \mp i \Big(\frac{J_\ell}{2\pi}\Big)^\frac{1}{2} e^{\pm 2\pi i W_\ell}$$ (79)

Se pueden poner estas coordenadas en función de las $\{ q_\ell, P_\ell \}$ usando las ecs. (58, 59, 69, 70, 71, 78 ). Después de una manipulación algebraica se llega a la expresión:

$$a^\pm_{\ell} = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-\frac{1}{2}} [(-2mE)^\frac{1}{2} q_\ell \... ...arge e}}^{\pm\pi i B^{-\frac{1}{2}}(-2mE)^{-\frac{1}{2} \sum^4_{k=1} q_k P_k}}]$$ (80)

Anteriormente, se dijo que no se podían obtener los generadores del grupo de simetría buscado, a partir de los dados en la referencia (26). Las funciones en las cuales, según se dijo, se basa la construcción de los generadores, son las $a^\pm_\ell$ dadas por (79,80). La función de que se hablaba está dada, según es aparente de la ec. (80), por:

$$f = \mp \pi i B^{-\frac{1}{2}} (-2mE)^{\frac{1}{2}} \sum^4_{k=1} q_k P_k$$

Las coordenadas $a_\ell^\pm$ introducidas no forman un conjunto canónico bajo la definición usual de éste [32], aunque no están muy lejos de formarlo pues se demuestra directamente, usando la ec. (19), que sus paréntesis de Poisson están dados por:

$$\left [ \; a^+_\ell, a^-_k \right ] = i \delta_{\ell k}$$ (81)

$$\left [ \; a^+_\ell, a^+_k \right ] = 0$$ (82)

$$\left [ \; a^-_\ell, a^-_k \right ] = 0$$ (83)

Estas coordenadas $a_\ell^\pm$ son eigenfunciones de $H$ con eigenvalores tales que, si $\lambda$ es eigenvalor correspondiente a $a^+_\ell, -\lambda$ lo es de $a^-_\ell$ (en nuestro caso, $\lambda = -i \forall \ell$). Las $a_\ell^\pm$ son eigenfunciones de $H$ tomado como operador lineal obtenido del operador bilineal que son los paréntesis de Poisson, de la siguiente manera [33]:

$$\tilde{H} = [H,\;\;\; ]$$ (85)

El dominio de $\tilde H$ es, nuestro caso, el espacio generado por las $a^+_\ell, a^-_k$.

Entonces [33,26], los productos de la forma $a^+_\ell a^-_k$ conmutan con el Hamiltoniano bajo la operación de paréntesis de Poisson, o sea :

$$\forall \; \ell, k = 1,2,3,4: \qquad [H, a^+_\ell a^-_k] = 0$$ (86)

Por lo tanto, $a^+_\ell a^-_k$ son constantes del movimiento. Existen 16 de ellas.

$$\left. \begin{array}{cccc} a^+_1 a^-_1 , a^+_1 a^-... ... a^+_4 a^-_3 , a^+_4 a^-_4 \\ \end{array} \right\}$$ (87)

Sin embargo, según lo que se discutió anteriormente, sólo serán constantes del movimiento aceptables aquellas combinaciones de las expresiones (87) que conmuten con $\varepsilon$ (bajo la operación de paréntesis de Poisson), o sea, sólo aquellas combinaciones de $a^+_\ell a^-_k$ que conserven la carga magnética, en el sentido mencionado anteriormente.

Usando las ecuaciones (72, 79, 80, 40-47, 36-37), se demuestra que:

$$H = E = \frac{-2me^2_1 e^2_2}{(a^+_1 a^-_1 + a^+_2 a^-_2 + a^+_3 a^-_3 + a^+_4 a^-_4)^2}$$ (88)

$$\mbox{{\Large$\varepsilon$}} = - \frac{i}{2}\; (a^+_3 a^-_4 + a^+_4 a^-_3 + a^+_2 a^-_1 + a^+_1 a^-_2)$$ (89)

Para calcular los paréntesis de Poisson necesarios, se tomará a $\varepsilon$ como operador [33] en el espacio de las $a_\ell^\pm$, con el objeto de encontrar sus eigenfunciones y tratar de construir así las constantes de movimiento (combinaciones lineales de términos de la forma $a_\ell^+$ $a_k^-$) que conmuten (bajo paréntesis de Poisson) con él. Para calcular paréntesis de Poisson de funciones de las $a_\ell^\pm$, hay que tener en cuenta que no forman una base canónica, por lo que hay que expresarlas primero en función de una base canónica (los paréntesis de Poisson son invariantes [32] bajo transformaciones canónicas, o sea, bajo el cambio de una base canónica a otra). Sin embargo, se puede evitar este cambio tomando ventaja de las relaciones (81-83). En una base canónica $\{Q_\ell,P_\ell\}$ el paréntesis de Poisson de $f$ y $g$ está definido por:

$$[f, g]= \sum_\ell\;\Big [\frac{\partial f}{\partial Q_\ell}\;... ... f}{\partial P_\ell}\;\frac{\partial g}{\partial Q_\ell}\Big]$$ (90)

Tomando en cuenta las relaciones (81-83) se demuestra, usando la regla de la cadena, que:

$$[f, g]= i \sum_\ell\;\Big(\frac{\partial f}{\partial Q^+_\el... ...ell}\;\frac{\partial g}{\partial Q^+_\ell}\Big) = i [f, g]^*$$ (91)

con

$$[f, g]^* \dot{=} \sum_\ell\;\Big(\frac{\partial f}{\partial ... ...tial f}{Q^-_\ell}\;\frac{\partial g}{\partial Q^+_\ell}\Big)$$ (92)

Esto da un método muy cómodo para calcular los paréntesis de Poisson de funciones expresadas en términos de las $a^{\pm}_\ell$. En nuestro caso, la ec. (91) es particularmente útil, pues se está tratando con funciones muy sencillas que las $a^{\pm}_\ell$. Usando (91), se demuestra que el operador $\mbox{{\Large$\varepsilon$}}$ actúa sobre la base $a^{\pm}_\ell$ de la siguiente manera:

$$\left. \begin{array}{ccr} \left[\mbox{{\Large$\varepsi... ...a^+_2 \right] & = & \frac{1}{2}\;a^+_1 \end{array} \right\}$$ (93)

$$\left. \begin{array}{ccr} \left[\mbox{{\Large$\varepsi... ...^+_4 \right] & = & -\frac{1}{2}\;a^+_3 \end{array} \right\}$$ (94)

$$\left. \begin{array}{ccr} \left[\mbox{{\Large$\varepsi... ...a^-_2 \right] & = & \frac{1}{2}\;a^-_1 \end{array} \right\}$$ (95)

$$\left. \begin{array}{ccr} \left[\mbox{{\Large$\varepsi... ...^-_4 \right] & = & -\frac{1}{2}\;a^-_3 \end{array} \right\}$$ (96)

Es obvio de las relaciones (93-96) que los planos generados por $\{a^+_1, a^+_2\}\; , \; \ \{a^+_3, a^+_4\}\; , \; \{a^-_1, a^-_2\}$ y $\{a^-_3, a^-_4\}$ son subespacios invariantes de $\mbox{{\Large$\varepsilon$}}$. Entonces, en dichos planos hay que buscar los eigenvectores (eigenfunciones) de $\mbox{{\Large$\varepsilon$}}$. Usando (93-96), se demuestra que los eigenvectores de $\mbox{{\Large$\varepsilon$}}$ son:

Con eigenvalor $\frac i 2\;$:

$$\left. \begin{array}{ccc} a^+_1 &+& ia^+_2 \\ \\ a^+... ...&+& ia^-_2 \\ \\ a^-_4 &+& ia^-_3 \end{array} \right\}$$ (97)

Con eigenvalor $-\frac i 2\;$:

$$\left. \begin{array}{ccc} a^+_2 + ia^+_1 &=& i(a^+_1 - ia... ... a^-_3 + ia^-_4 &=& i(a^-_4 - ia^-_3) \end{array} \right\}$$ (98)

Con eigenvalor $\frac i 2\;$:

$$\left. \begin{array}{ccc} a^+_1 &+& ia^+_2 \\ \\ a^+_4 &+& ia^+_3 \end{array} \right\}$$ (99)

Con eigenvalor $-\frac i 2\;$:

$$\left. \begin{array}{ccc} a^+_2 + ia^+_1 &=& i(a^+_1 - ia... ... a^+_3 + ia^+_4 &=& i(a^+_4 - ia^+_3) \end{array} \right\}$$ (100)

Es claro [33,26], entonces, que cualquier función de productos de términos (97) con términos (98) conmuta (bajo paréntesis de Poisson) con $\mbox{{\Large$\varepsilon$}}$. Sin embargo, sólo se pueden escoger productos que den lugar a términos de la forma $a_l^+ a_k^-$ que son los que conmutan con $H$ son nuestras constantes del movimiento. Así, por ejemplo, no se pueden tomar productos de términos marcados (99) con los marcados (100). Existen 8 productos independientes de términos (97) con (98):

$$F_1 = (a^+_1 + ia^+_2)(a^-_2 + ia^-_1) = a^+_1 a^-_2 - a^+_2 a^-_1 + i(a^+_1 a^-_1 + a^+_2 a^-_2)$$ (101)

$$F_2 = (a^+_1 + ia^+_2)(a^-_3 + ia^-_4) = a^+_1 a^-_3 - a^+_2 a^-_4 + i(a^+_1 a^-_4 + a^+_2 a^-_3)$$ (102)

$$F_3 = (a^+_4 + ia^+_3)(a^-_2 + ia^-_1) = a^+_4 a^-_2 - a^+_3 a^-_1 + i(a^+_4 a^-_1 + a^+_3 a^-_2)$$ (103)

$$F_4 = (a^+_4 + ia^+_3)(a^-_3 + ia^-_4) = a^+_4 a^-_3 - a^+_3 a^-_4 + i(a^+_3 a^-_3 + a^+_4 a^-_4)$$ (104)

$$F_5 = (a^-_1 + ia^-_2)(a^+_2 + ia^+_1) = a^+_2 a^-_1 - a^+_1 a^-_2 + i(a^+_2 a^-_2 + a^+_1 a^-_1)$$ (105)

$$F_6 = (a^+_3 + ia^+_4)(a^-_1 + ia^-_2) = a^+_3 a^-_1 - a^+_4 a^-_2 + i(a^+_4 a^-_1 + a^+_3 a^-_2)$$ (106)

$$F_7 = (a^+_2 + ia^+_1)(a^-_4 + ia^-_3) = a^+_2 a^-_4 - a^+_1 a^-_3 + i(a^+_2 a^-_3 + a^+_1 a^-_4)$$ (107)

$$F_8 = (a^+_3 + ia^+_4)(a^-_4 + ia^-_3) = a^+_3 a^-_4 - a^+_4 a^-_3 + i(a^+_3 a^-_3 + a^+_4 a^-_4)$$ (108)

Estas son entonces las constantes del movimiento correspondientes a nuestro problema. Son perfectamente aceptables; sin embargo nuestro interés principal consiste en construir, a partir de ellas, el grupo de simetría apropiado ; o sea, queremos hallar, a partir de ellas, los generadores de dicho grupo. Como tal condición de generadores se da en términos de sus relaciones con respecto a paréntesis de Poisson, se calculará ahora la tabla de paréntesis de Poisson de las F's. Usando (91), se demuestra que:

$$\begin{array}{@{}\vert@{}c@{}\vert@{}c@{}\vert@{}c@{}\vert@... ...& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2F_6 & -2F_7 & 0 \ \hline \end{array}$$

Tabla 1.

 

De la tabla 1, se deducen las siguientes constantes del movimiento;

$$R_1 = F_1 + F_4 = a^+_1 a^-_2 - a^+_2 a^-_1 + a^+_4 a^-_3 - a^+_3 a^-_4 +$$

$$i(a^+_1 a^-_1 + a^+_2 a^-_2 + a^+_3 a^-_3 + a^+_4 a^-_4)$$ (109)

$$R_2 = F_5 + F_8 = a^+_2 a^-_1 - a^+_1 a^-_2 + a^+_3 a^-_4 - a^+_4 a^-_3 +$$

$$i(a^+_1 a^-_1 + a^+_2 a^-_2 + a^+_3 a^-_3 + a^+_4 a^-_4)$$ (110)

$$S_1 = -\frac{i}{4}(F_1 - F_4) = \frac{1}{4}[a^+_1 a^-_1 + a^+_2 a^-_2 - a^+_3 a^-_3 - a^+_4 a^-_4 -$$

$$i(a^+_1 a^-_2 - a^+_2 a^-_1 + a^+_3 a^-_4 - a^+_4 a^-_3)]$$ (111)

$$S_2 = \frac{1}{4}(F_2 - F_3) = \frac{1}{4}[a^+_1 a^-_3 - a^+_2 a^-_4 + a^+_3 a^-_1 - a^+_4 a^-_2 -$$

$$i(a^+_4 a^-_1 + a^+_3 a^-_2 - a^+_1 a^-_4 - a^+_2 a^-_3)]$$ (112)

$$S_3 = -\frac{i}{4}(F_2 + F_3) = \frac{1}{4}[a^+_1 a^-_4 + a^+_2 a^-_3 + a^+_4 a^-_1 + a^+_3 a^-_2 -$$

$$i(a^+_1 a^-_3 - a^+_3 a^-_4 + a^+_4 a^-_2 - a^+_3 a^-_1)]$$ (113)

$$T_1 = -\frac{i}{4}(F_5 - F_8) = \frac{1}{4}[a^+_1 a^-_1 + a^+_2 a^-_2 - a^+_3 a^-_3 - a^+_4 a^-_4 -$$

$$i(a^+_2 a^-_1 - a^+_1 a^-_2 + a^+_4 a^-_3 - a^+_3 a^-_4)]$$ (114)

$$T_2 = \frac{1}{4}(F_6 - F_7) = \frac{1}{4}[a^+_3 a^-_1 - a^+_4 a^-_2 + a^+_1 a^-_3 - a^+_2 a^-_4 -$$

$$i(a^+_2 a^-_3 + a^+_1 a^-_4 - a^+_4 a^-_1 - a^+_3 a^-_2)]$$ (115)

$$T_3 = -\frac{i}{4}(-F_6 - F_7) = \frac{1}{4}[-a^+_4 a^-_1 - a^+_2 a^-_3 - a^+_3 a^-_2 - a^+_1 a^-_4 -$$

$$i(a^+_4 a^-_2 + a^+_1 a^-_3 - a^+_3 a^-_1 - a^+_2 a^-_4)]$$ (116)

Los paréntesis de Poisson de estas constantes del movimiento se dan en la siguiente tabla, en la construcción de la cual se usó la tabla 1;

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ve... ...3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & T_2 & -T_1 & 0 \ \hline \end{array}$$

Tabla 2.

En forma compacta, estas relaciones son las siguientes:

Para $\quad \ell = 1,2 \quad ; \quad j = 1,2,3 \quad ; \quad K = 1,2,3 \quad ; \quad m = 1,2,3$ :

$$\left [ R_\ell, S_j \right ] = 0$$ (117)

$$\left [ R_\ell, T_j \right ] = 0$$ (118)

$$[R_\ell, R_1]= [R_\ell, R_2] = 0$$ (119)

$$[S_j, S_k]= Sm \;\;\;\;\;\mbox{(j, k, m en orden c\'{\i}clico)}$$ (120)

$$[T_j, T_k]= Tm \;\;\;\;\;\mbox{(j, k, m en orden c\'{\i}clico)}$$ (121)

$$[S_j, T_k]= 0$$ (122)

Las anteriores relaciones de conmutación indican [13] que las constantes del movimiento halladas son generadores del gupo O(4), o sea se ha demostrado que el grupo de simetría del problema representado por el Hamiltoniano $H$ (ec. (2)) es O(4).

La demostración anterior es perfectamente rigurosa y válida; sin embargo, las constantes del movimiento obtenidos no tienen una interpretación geométrica directa. Lo que se hará ahora es construir, a partir de las constantes del movimiento (109-116), funciones que también sean constantes del movimiento pero que tengan un significado geométrica conocido. Para hacer ésto, nos guiaremos por el tratamiento vectorial que se dió al problema en la sección I-B. En dicho estudio vectorial, se demostró (ecs. (7,23) de la sección I-B) que:

$$\bar{D} = \bar{L} - \mbox{{\Large$\varepsilon$}} \widehat{p}$$ (123)

$$\mathbf{R} = \bar{D} \times \bar{ \mbox{{\Large$\pi$ }} } - me_1 e_2 \widehat{p}$$ (124)

son constantes del movimiento.

Introduciendo el vector $\bar\ell$ dado por:

$$\bar{\ell} = \bar{\rho} \times \bar{p} \eqno{(124\mbox{-a})}$$

al cual se le llama ``momentum angular canónico", pues $\bar{p}$ es el momentum canónico, relacionado con el momentum mecánico $\bar{\pi} = m \frac{d\bar{\rho}}{dt}$ por:

$$\bar{ \mbox{{\Large $\pi$ }} } = \bar{p} - \frac{e_2}{c}\; \bar{A} \eqno{(124\mbox{-b})}$$

se demuestra que las componentes de $\bar{D} = (D_x, D_y, D_z)$ se pueden escribir en la forma:

$$\left. \begin{array}{cc} D_x = \ell_x - \frac{\mbox{{\Lar... ...z = \ell_z {}{} \end{array} \right\} \eqno{(123\mbox{-a})}$$

Se puede poner a $\bar{D}$ y $\bar{R}$ en función de las $a^+_\ell a^-_k$. Sin embargo resulta más fácil trabajar con las coordenadas y momenta originales

$$\{\mu, \nu, \phi, \gamma, P_\mu, P_\nu, P_\phi,\mbox{{\Large $\varepsilon$}}\}.$$

Para ésto, es necesario, poner a las constantes $\{R_\ell, S_k, T_j\}$ en función de estas coordenadas, lo mismo que a $\bar{D}$ y a $\bar{\mathbf{R}}$.

Para realizar lo anterior, se necesitan las $a^\pm_\ell$ en función de las coordenadas $\{\mu, \nu, \phi, \mbox{etc.}\}$. Usando las relaciones (40-43, 48-51), así como la ecuación (80), se demuestra que;

$$a^\pm_1 = [2(-2mE)^{\frac{1}{2}}]^{-\frac{1}{2}} \left [ (-2mE)^\frac{1}{2}... ...box{cos}\theta \;P_\mu - \mbox{sen}\theta\; \frac{P_\theta}{\mu}) \right] \cdot$$

$$\left [ e^{\mp(\pi i B^{-\frac{1}{2}})(-2mE)^{\frac{1}{2}}(\mu P _\mu + \nu P_\nu)} \right ]$$ (125)

$$a^\pm_2 = [2(-2mE)^{\frac{1}{2}}]^{-\frac{1}{2}} \left [ (-2mE)^\frac{1}{2}... ...ox{sen}\theta \;P_\mu + \mbox{cos}\theta\; \frac{P_\theta}{\mu}) \right ] \cdot$$

$$\left [ e^{\mp(\pi i B^{-\frac{1}{2}})(-2mE)^{\frac{1}{2}}(\mu P _\mu + \nu P_\nu)} \right ]$$ (126)

Para $a^\pm_3$ y $a^\pm_4$ sólo hay que cambiar $\mu$ por $\nu, \theta$ por $\delta$ y $P_\mu$ por $P_\nu$ en (125) y (126), respectivamente:

$$a^\pm_3 = [2(-2mE)^{\frac{1}{2}}]^{-\frac{1}{2}} \left [ (-2mE)^\frac{1}{2}... ...box{cos}\delta \;P_\nu - \mbox{sen}\delta\; \frac{P_\delta}{\nu}) \right] \cdot$$

$$\left [ e^{\mp(\pi i B^{-\frac{1}{2}})(-2mE)^{\frac{1}{2}}(\mu P _\mu + \nu P_\nu)} \right ]$$ (127)

$$a^\pm_4 = [+2(-2mE)^{\frac{1}{2}}]^{-\frac{1}{2}} \left [ (-2mE)^\frac{1}{2... ...ox{sen}\delta \;P_\nu + \mbox{cos}\delta\; \frac{P_\delta}{\nu}) \right ] \cdot$$

$$\left [ e^{\mp(\pi i B^{-\frac{1}{2}})(-2mE)^{\frac{1}{2}}(\mu P _\mu + \nu P_\nu)} \right ]$$ (128)

Usando las relaciones (125-128), se pondrán ahora las $a^+_\ell a^-_K$ en función de las coordenadas $\{\mu, \nu, \phi, \mbox{etc.}\}$:

$$a^+_1 a^-_1 = [2(-2mE)^{\frac{1}{2}}]^{-1} [-2mE\mu^2 \mbox{cos}^2 \theta + \mbox{cos}^2 \theta P_\mu^2 + \mbox{sen}^2 \theta \frac{P^2_\theta}{\mu^2}$$

$$-2 \mbox{sen}\theta \;\mbox{cos}\theta \;\frac{P_\mu P_\theta}{\mu}]$$ (129)

$$a^+_2 a^-_2 = [2(-2mE)^{\frac{1}{2}}]^{-1} [-2mE\mu^2 \mbox{sen}^2 \theta + \mbox{sen}^2 \theta P_\mu^2 + \mbox{cos}^2 \theta \frac{P^2_\theta}{\mu^2}$$

$$+2 \mbox{sen}\theta \;\mbox{cos}\theta \;\frac{P_\mu P_\theta}{\mu}]$$ (130)

$$a^+_3 a^-_3 = [2(-2mE)^{\frac{1}{2}}]^{-1} [-2mE\nu^2 \mbox{cos}^2 \delta + \mbox{cos}^2 \delta P_\nu^2 + \mbox{sen}^2 \delta \frac{P^2_\delta}{\nu^2}$$

$$-2 \mbox{sen}\delta \;\mbox{cos}\delta \;\frac{P_\mu P_\delta}{\nu}]$$ (131)

$$a^+_4 a^-_4 = [2(-2mE)^{\frac{1}{2}}]^{-1} [-2mE\nu^2 \mbox{sen}^2 \delta + \mbox{sen}^2 \delta P_\nu^2 + \mbox{cos}^2 \delta \frac{P^2_\delta}{\nu^2}$$

$$+2 \mbox{sen}\delta \;\mbox{cos}\delta \;\frac{P_\nu P_\delta}{\nu}]$$ (132)

$$a^+_1 a^-_4 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left \{\mbox{cos}\theta\;\mbox{cos}\d... ...)^\frac{1}{2} \frac{\mu P_\delta}{\nu} + \frac{P_\mu P_\delta}{\nu}] + \right.$$

$$\mbox{cos}\theta \mbox{sen}\delta \; [-2mE \mu \nu + P_\mu P_\nu + i (-2mE)^\frac{1}{2} (\mu P_\nu - \nu P_\mu)]$$

$$\left. + \mbox{sen}\theta \mbox{sen}\delta \; [i(-2mE)^\frac{1}{... ...-\mbox{sen}\theta \mbox{cos}\delta \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}\right\}$$ (133)

$$a^+_3 a^-_2 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left \{\mbox{cos}\theta\;\mbox{cos}\d... ...)^\frac{1}{2} \frac{\nu P_\theta}{\mu} + \frac{P_\nu P_\theta}{\mu}] + \right.$$

$$\mbox{sen}\theta \mbox{cos}\delta \; [-2mE \mu \nu + P_\mu P_\nu - i (-2mE)^\frac{1}{2} (\mu P_\nu - \nu P_\mu)]$$

$$\left.+ \mbox{sen}\theta \mbox{sen}\delta \; [i(-2mE)^\frac{1}{2... ...-\mbox{cos}\theta \mbox{sen}\delta \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}\right\}$$ (134)

$$a^+_1 a^-_2 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left \{i (-2mE)^\frac{1}{2} P_\theta + \mbox{sen}\theta \mbox{cos}\theta \right.$$

$$\left. [-2mE\mu^2 + P^2_\mu - \frac{P^2_theta}{\mu^2}] + \frac{P_\mu P_\theta}{\mu} [\mbox{cos}^2 \theta - \mbox{sen}^2 \theta]\right\}$$ (135)

$$a^+_1 a^-_3 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left \{\mbox{cos}\theta\;\mbox{cos}\delta \; [-2mE \mu \nu + P_\mu P_\mu + i (-2mE)^\frac{1}{2} \right.$$

$$(\mu P_\nu - \nu P_\mu)] + \mbox{cos}\theta \mbox{sen}\delta \; [-i (-2mE)^\frac{1}{2} \frac{\mu P_\delta}{\nu} - \frac{P_\mu P_\delta}{\nu}]$$

$$\left. + \mbox{sen}\theta \mbox{cos}\delta \; [i(-2mE)^\frac{1}{... ... \mbox{sen}\theta \mbox{sen}\delta \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}\right\}$$ (136)

$$a^+_2 a^-_1 = [2 (-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left \{\mbox{sen}\theta \mbox{cos}\theta \; [-2mE\mu^2 + P^2_\mu - \frac{P^2_\theta}{\mu^2}] \right.$$

$$\left. -i (-2mE)^\frac{1}{2} P_\theta + \frac{P_\mu P_\theta}{\mu}[\mbox{cos}^2 \theta- \mbox{sen}^2\theta]\right\}$$ (137)

$$a^+_2 a^-_3 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left\{\mbox{sen}\theta\;\mbox{cos}\delta \; [-2mE \mu \nu + P_\mu P_\nu + i (-2mE)^\frac{1}{2} \right.$$

$$(\mu P_\nu - \nu P_\mu)] + \mbox{sen}\theta \mbox{sen}\delta \; [-i (-2mE)^\frac{1}{2} \frac{\mu P_\delta}{\nu} - \frac{P_\mu P_\delta}{\nu}]$$

$$\left. + \mbox{cos}\theta \mbox{cos}\delta \; [-i(-2mE)^\frac{1}... ... \mbox{cos}\theta \mbox{sen}\delta \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}\right\}$$ (138)

$$a^+_2 a^-_4 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left\{\mbox{sen}\theta\;\mbox{sen}\delta \; [-2mE \mu \nu + P_\mu P_\nu + i (-2mE)^\frac{1}{2} \right.$$

$$(\mu P_\nu - \nu P_\mu)] + \mbox{sen}\theta \mbox{cos}\delta \; [i (-2mE)^\frac{1}{2} \frac{\mu P_\delta}{\nu} + \frac{P_\mu P_\delta}{\nu}]$$

$$\left. + \mbox{cos}\theta \mbox{sen}\delta \; [-i(-2mE)^\frac{1}... ... \mbox{cos}\theta \mbox{cos}\delta \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}\right\}$$ (139)

$$a^+_3 a^-_1 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left\{\mbox{cos}\theta\;\mbox{cos}\delta \; [-2mE \mu \nu + P_\mu P_\nu - i (-2mE)^\frac{1}{2} \right.$$

$$(\mu P_\nu - \nu P_\mu)] + \mbox{cos}\theta \mbox{sen}\delta \; [i (-2mE)^\frac{1}{2} \frac{\mu P_\delta}{\nu} - \frac{P_\mu P_\delta}{\nu}]$$

$$\left. + \mbox{sen}\theta \mbox{cos}\delta \; [-i(-2mE)^\frac{1}... ... \mbox{sen}\theta \mbox{sen}\delta \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}\right\}$$ (140)

$$a^+_3 a^-_4 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left\{i (-2mE)^\frac{1}{2} P_\delta + \mbox{sen}\delta \mbox{cos}\delta \right.$$

$$\left. [-2mE \nu^2 + P^2_\nu - \frac{P^2_\delta}{\nu^2}] + \frac{P_\nu P_\delta}{\nu}\;(\mbox{cos}^2\delta - \mbox{sen}^2\delta]\right\}$$ (141)

$$a^+_4 a^-_1 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left\{ \mbox{cos}\theta\;\mbox{sen}\delta \; [-2mE \mu \nu + P_\mu P_\nu - i (-2mE)^\frac{1}{2} \right.$$

$$(\mu P_\nu - \nu P_\mu)] + \mbox{sen}\theta \mbox{sen}\delta \; [-i (-2mE)^\frac{1}{2} \frac{\mu P_\theta}{\mu} - \frac{P_\nu P_\theta}{\mu}]$$

$$\left. + \mbox{cos}\theta \mbox{cos}\delta \; [-i(-2mE)^\frac{1}... ... \mbox{sen}\theta \mbox{cos}\delta \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}\right\}$$ (142)

$$a^+_4 a^-_2 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left\{\mbox{sen}\theta\;\mbox{sen}\delta \; [-2mE \mu \nu + P_\mu P_\nu - i (-2mE)^\frac{1}{2} \right.$$

$$(\mu P_\nu - \nu P_\mu)] + \mbox{sen}\theta \mbox{cos}\delta \; [-i (-2mE)^\frac{1}{2} \frac{\mu P_\delta}{\nu} + \frac{P_\mu P_\delta}{\nu}]$$

$$\left. + \mbox{cos}\theta \mbox{sen}\delta \; [-i(-2mE)^\frac{1}... ... \mbox{cos}\theta \mbox{cos}\delta \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}\right\}$$ (143)

$$a^+_4 a^-_3 = [2(-2mE)^\frac{1}{2}]^{-1} \left\{\mbox{sen}\delta\;\mbox{cos}\delta \; [-2mE\nu^2 + P^2_\nu - \frac{P^2_\delta}{\nu^2}] \right.$$

$$\left. -i (-2mE)^\frac{1}{2} P_\delta + \frac{P_\nu P_\delta}{\nu} [\mbox{cos}^2 \delta - \mbox{sen}^2\delta]\right\}$$ (144)

Usando las relaciones (109-116) y (129-144), es posible escribir las constantes del movimiento $\{R_\ell, S_j, T_k\}$ en función de $\{\mu, \nu, \mbox{etc.}\}$ obteniéndose las relaciones siguientes:

$$S_1 = (-2mE)^{-\frac{1}{2}} \left\{\frac{1}{4} (-2mE)^\frac{1}{2} (P_\theta + P_\delta) + \frac{1}{8} \right.$$

$$\left. [-2mE (\mu^2 - \nu^2) + P^2_\mu - P^2_\nu + \frac{P^2_\theta}{\mu^2} - \frac{P^2_\delta}{\nu^2}]\right\}$$ (145)

$$S_2 = (-2mE)^{-\frac{1}{2}} \left\{\frac{1}{4} \mbox{cos}(\theta + \del... ...mE)^\frac{1}{2} (\frac{\nu P_\theta}{\mu} - \frac{\mu P_\delta}{\nu}) \right.$$

$$-2mE\mu \nu + P_\mu P_\nu - \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}] + \frac{1}{4} [\mbox{sen}(\theta + \delta)]$$

$$\left. [-(-2mE)^{\frac{1}{2}} (\mu P_\nu - \nu P_\mu) - \frac{P_\mu P_\delta}{\nu} - \frac{P_\nu P_\theta}{\mu}]\right\}$$ (146)

$$S_3 = (-2mE)^{-\frac{1}{2}} \left\{\frac{1}{4} \mbox{cos} (\theta + \delta) [(-2mE)^{\frac{1}{2}}(\mu P_\nu - \nu P_\mu) + \right.$$

$$\frac{P_\mu P_\delta}{\nu} + \frac{P_\nu P_\theta}{\mu}] + \fra... ...) [(-2mE)^{\frac{1}{2}} (\frac{\nu P_\theta}{\mu} - \frac{\mu P_\delta}{\nu})$$

$$\left. -2mE \mu \nu + P_\mu P_\nu - \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}]\right\}$$ (147)

$$T_1 = (-2mE)^{-\frac{1}{2}} \left\{-\frac{1}{4} (-2mE)^\frac{1}{2} (P_\theta + P_\delta) + \frac{1}{8} \right.$$

$$\left. [-2mE (\mu^2 - \nu^2) + P^2_\mu - P^2_\nu + \frac{P^2_\theta}{\mu^2} - \frac{P^2_\delta}{\nu^2}]\right\}$$ (148)

$$T_2 = (-2mE)^{-\frac{1}{2}} \left\{\frac{1}{4} \mbox{cos}(\theta + \del... ...mE)^\frac{1}{2} (\frac{\nu P_\theta}{\mu} - \frac{\mu P_\delta}{\nu}) \right.$$

$$-2mE\mu \nu + P_\mu P_\nu - \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}] + \frac{1}{4} \mbox{sen}(\theta + \delta)$$

$$\left. [(-2mE)^{\frac{1}{2}} (\mu P_\nu - \nu P_\mu) - \frac{P_\mu P_\delta}{\nu} - \frac{P_\nu P_\theta}{\mu}]\right\}$$ (149)

$$T_3 = (-2mE)^{-\frac{1}{2}} \left\{\frac{1}{4} \mbox{cos} (\theta + \delta) [(-2mE)^{\frac{1}{2}}(\mu P_\nu - \nu P_\mu) - \right.$$

$$\frac{P_\mu P_\delta}{\nu} - \frac{P_\nu P_\theta}{\mu}] + \fra... ...) [(-2mE)^{\frac{1}{2}} (\frac{\nu P_\theta}{\mu} - \frac{\mu P_\delta}{\nu})$$

$$\left. +2mE \mu \nu - P_\mu P_\nu + \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}]\right\}$$ (150)

$$R_1 = (-2mE)^{-\frac{1}{2}} \left\{i(-2mE)^\frac{1}{2} (P_\theta - P_\delta) + \frac{i}{2} \right.$$

$$\left. [-2mE(\mu^2 + \nu^2) + P_\mu^2 + P_\nu^2 + \frac{P_\theta^2}{\mu^2} + \frac{P_\delta^2}{\nu^2}]\right\}$$ (151)

$$R_2 = (-2mE)^{-\frac{1}{2}} \left\{-i(-2mE)^\frac{1}{2} (P_\theta - P_\delta) + \frac{i}{2} \right.$$

$$\left. [-2mE(\mu^2 + \nu^2) + P_\mu^2 + P_\nu^2 + \frac{P_\theta^2}{\mu^2} + \frac{P_\delta^2}{\nu^2}]\right\}$$ (152)

Se pondrán ahora $\bar{\mathbf{R}}$ y $\bar{D}$ en función de $\{\mu,\nu, \mbox{etc.}\}$. Para esto, según es evidente de sus definiciones, se necesita a $\bar {\ell}$ y $\bar{\pi}$ en función de estas coordenadas.

De sus definiciones (ecs. (124 a-b)):

$$\ell_x = \frac{1}{2} \mbox{sen}\phi (\nu P_\mu - \mu P_\nu) - \frac{1}{2} \mbox{cos}\phi \frac{\mu^2 - \nu^2}{\mu \nu} P_\phi$$ (153)

$$\ell_y = \frac{1}{2} \mbox{cos}\phi (\mu P_\nu - \nu P_\mu) - \frac{1}{2} \mbox{sen}\phi \frac{\mu^2 - \nu^2}{\mu \nu} P_\phi$$ (154)

$$\ell_z = P_\phi$$ (155)

$$\pi_x = P_x - \frac{\varepsilon y z}{(x^2 + y^2)\rho}$$ (156)

$$\pi_y = P_y - \frac{\varepsilon x z}{(x^2 + y^2)\rho}$$ (157)

$$\pi_z = P_z$$ (158)

Entonces, usando las relaciones 153-158, 12-14, 3-8, 123-a,34-37,124), se tiene que:

$$\mathbf{R}_x = D_y \pi_z - D_z \pi_y - me_1 e_2 \frac{x}{\rho} = \frac{1}{2}\; \mbox{cos}(\theta + \delta) (-2mE \mu \nu +$$

$$P_\mu P_\nu - \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu}) - \frac{1}{2}... ...en}(\theta + \delta)(\frac{P_\mu P_\delta}{\nu} + \frac{P_\nu P_\theta}{\mu})$$ (159)

$$\mathbf{R}_y = D_z \pi_x - D_x \pi_z - me_1 e_2 \frac{y}{\rho} = \frac{1}{2}\... ...}(\theta + \delta)(\frac{P_\mu P_\delta}{\nu} + \frac{P_\nu P_\theta}{\mu}) -$$

$$\frac{1}{2} \;\mbox{sen}(\theta + \delta) [-(-2mE \mu \nu + P_\mu P_\nu - \frac{P_\theta P_\delta}{\mu \nu})]$$ (160)

$$\mathbf{R}_z = D_x \pi_y - D_y \pi_x - me_1 e_2 \frac{z}{\rho} = - \frac{1}{2(\mu^2 + \nu^2)} [\mu^2 (P^2_\nu + \frac{P^2_\delta}{\nu^2})$$

$$- \nu^2(P^2_\mu + \frac{P^2_\theta}{\mu^2}) + 2me_1 e_2 (\mu^2 - \nu^2)]$$ (161)

En lo anterior, se ha usado la relación (34) para poner $\theta + \delta$ en el lugar de $\phi$. Para el vector $\bar{D}$:

$$D_x = \frac{1}{2} \mbox{sen} (\theta + \delta)(\nu P_\mu - \mu P_\nu) -... ...mbox{cos}(\theta + \delta)(\frac{\mu P_\delta}{\nu} - \frac{\nu P_\theta}{\mu})$$ (162)

$$D_y = \frac{1}{2} \mbox{cos} (\theta + \delta)(\mu P_\nu - \nu P_\mu) -... ...mbox{sen}(\theta + \delta)(\frac{\mu P_\delta}{\nu} - \frac{\nu P_\theta}{\mu})$$ (163)

$$D_z = \ell_z = P_\phi = \frac{1}{2} (P_\theta + P_\delta)$$ (164)

De las relaciones (145-150) y (159-164) se tiene casi directamente (sólo hay que hacer algunas transformaciones algebraicas usando (38) para $\mathbf{R}_z$):

$$\mathbf{R}_x = (-2mE)^\frac{1}{2}\; (S_2 + T_2)$$ (165)

$$\mathbf{R}_y = (-2mE)^\frac{1}{2}\; (S_3 - T_3)$$ (166)

$$\mathbf{R}_z = (-2mE)^\frac{1}{2}\; (S_1 + T_1)$$ (167)

$$D_1\; \dot{=}\; D_x = S_2 - T_2$$ (168)

$$D_2\; \dot{=}\; D_y = S_3 + T_3$$ (169)

$$D_3\; \dot{=}\; D_z = S_1 - T_1$$ (170)

Definiendo un nuevo vector $\mathcal{\bar{R}} = (\mathcal{R}_1,\; \mathcal{R}_2,\; \mathcal{R}_3)$ por:

$$\mathcal{\bar{R}} = (-2mE)^{-\frac{1}{2}}\;\mathbf{\bar{R}}$$ (171)

tenemos que:

$$\mathcal{R}_1 = S_2 + T_2$$ (172)

$$\mathcal{R}_2 = S_3 - T_3$$ (173)

$$\mathcal{R}_3 = S_1 + T_1$$ (174)

De las relaciones (117-122, 168-170, 172-174), es directo demostrar, usando la propiedad de antisimetría de los paréntesis de Poisson con respecto a un cambio de orden en sus argumentos, las siguientes relaciones:

$$[\mathcal{R}_\ell,\;\mathcal{R}_j] = \mbox{{\Large $\varepsilon$}}_{\ell j k}\; D_k$$ (175)

$$[D_\ell,\;D_j] = \mbox{{\Large$\varepsilon$}}_{\ell j k}\; D_k$$ (176)

$$[D_\ell,\;\mathcal{R}_j] = \mbox{{\Large$\varepsilon$}}_{\ell j k}\; \mathcal{R}_k$$ (177)

Estas relaciones indican [13] que $\mathcal{R}_1,\;\mathcal{R}_2,\;\mathcal{R}_3,\;D_1,\;D_2,\;D_3,\;$ son generadores del grupo $O(4)$. Con ésto, se ha conseguido lo que se quería: dar a las constantes del movimiento una interpretación geométrica y tener así generadores del grupo $O(4)$ más convencionales que $\{\mathcal{R}_\ell,\; S_j,\; T_k \}$.