Estructura de la regla que representa a $Life$

El autómata celular de Conway en dos dimensiones llamado ``The Game of Life'', es llamado así por su relación que tiene con la modelación de sistemas biológicos, tal como ecosistemas, incendios forestales, reacciones químicas, comportamientos colectivos de seres vivos, entre otros. Sea $\Sigma=\{0,1\}$ el conjunto de estados, el estado 0 representa una célula muerta (color blanco) y el estado 1 representa una célula viva (color negro).

La función de trancisión $\varphi$ emplea la vecindad de Moore Figura 2.5, la regla de evolución es semitotalística y es representada como $R(2,3,3,3)$, la primera pareja de números 2,3 son un mínimo y un máximo respectivamente de células vivas necesarias para definir la sobrevivencia de una célula que está viva, la segunda pareja de números 3,3 también son un mínimo y un máximo respectivamente de células vivas necesarias para definir el nacimiento de una célula, entonces las variables de la Equación 2.2.1 toman los valores de $S_{min}=2$, $S_{max}=3$, $N_{min}=3$ y $N_{max}=3$, por eso es que $S$ representa la sobrevivencia en el tiempo $t+1$ de una célula que se encuentra viva en el tiempo $t$ y $N$ representa el nacimiento de una célula en el tiempo $t+1$ de una célula que se encontraba muerta en el tiempo $t$.

Conway hace un amplio análisis para poder determinar una regla de evolución que tuviera dos características fundamentales:

1. Una configuración $c_{i}$ no debe desaparacer rápidamente.

2. Una configuración $c_{i}$ debe crecer ilimitadamente.

además se deben de definir tres condiciones, cuándo una célula debe de nacer, sobrevivir o morir. Estas condiciones son muy importantes para obtener las características mencionadas.

(a)

Nacimiento. Una célula muerta en el tiempo $t$ llega a vivir en el tiempo $t+1$ si tiene exactamente tres de sus vecinos vivos en el tiempo $t$.

(b)

Muerte por sobre-población. Si una célula vive en el tiempo $t$ y tiene cuatro o mas de sus ocho vecinos vivos en el tiempo $t$, esta célula debe morir en el tiempo $t+1$.

(c)

Muerte por aislamiento. Si una célula vive en el tiempo $t$ y tiene un vecino vivo o ninguno en el tiempo $t$, esta célula debe morir en el tiempo $t+1$.

(d)

Sobrevivencia. Una célula que vive en el tiempo $t$ deberá permanecer viva en el tiempo $t+1$, si y solo si, tiene dos o tres vecinos vivos en el tiempo $t$.

Por lo tanto la Equación 2.2.1 para la regla $R(2,3,3,3)$ en particular queda como:

$$\varphi({\mathbf{x}_{0}},{\mathbf{x}_{1}},\ldots,{\mathbf{x}_{8}}... ...}} \leq 3 \end{array} \right. \ \ 0 & \mbox{en otro caso} \end{array} \right.$$ (3.1.1)

se tiene que $3 \leq \sum_{i=1}^{8} \mathbf{x}_{i} \leq 3$ es el intervalo de células vivas entre $N_{min}$ y $N_{max}$ para un nacimiento y $2 \leq \sum_{i=1}^{8} \mathbf{x}_{i} \leq 3$ es el intervalo de células vivas entre $S_{min}$ y $S_{max}$ para la sobrevivencia. Las células se encuentran en nuestro espacio de evoluciones $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}$ donde las transformaciones para cada una de las células $x_{i,j}$ se efectúan de manera simultánea o en paralelo.