Reglas de evolución parecidas a $Life$

Los estudios realizados por Bays [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8] en autómatas celulares de tres dimensiones son importantes, ya que es el primero en establecer varias condiciones para determinar si una regla de evolución es meritória a ser llamada Life en tres dimensiones, sus estudios han mostrado que existen varias reglas de evolución en tres dimensiones que pueden tener comportamientos complejos, producir gliders, configuraciones fijas, periódicas y no desaparecer rápidamente.

El primer problema es que deben de existir reglas de evolución ``similares'' a Life en autómatas de una y dos dimensiones bajo las condiciones que establece Bays, pero varias de estas condiciones no pueden ser proyectadas a autómatas celulares de una y dos dimensiones. Se muestran algunas de las definiciones establecidas por Bays para deteminar si una regla de evolución puede simular a Life en tres dimensiones.

Definición 4.1.1   Bays [2]

Una regla de evolución semitotalística $R(S_{min},S_{max},N_{min},N_{max})$ define un autómata celular del tipo ``The Game of Life'', si y solo si, se cumplen las siguientes condiciones :

1. Un glider debe existir de manera ``natural'' si se aplica la regla $R(S_{min},S_{max},N_{min},N_{max})$ iterativamente a una configuración $c_{i}$ aleatoria.

2. Todas las configuraciones $c_{i}$ aleatorias que sean transformadas por la regla de evolución semitotalística $R(S_{min},S_{max},N_{min},N_{max})$ deben tener un crecimiento limitado.

La primera condición implica la existencia de estructuras periódicas con desplazamientos en el espacio de evoluciones tridimensional $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}$ sin necesidad de construirlos cuidadosamente, en Life comúnmente los gliders empiezan a generarse en el intervalo de generaciones $80 \leq t_{i} \leq 100$ para toda configuración $c_{i}$ aleatoria de densidad promedio. La segunda condición implica que desde cualquier configuración inicial aleatoria $c_{i}$, la regla de evolución debe alcanzar una densidad promedio baja, lo que significa que no se cubra todo el espacio $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}$ por un solo estado o que un solo estado domine el espacio de evoluciones.

Nótese que la Definición 4.1.1 puede ser aplicada a autómatas celulares de dos y una dimensión, por supuesto esta definición se basa en el modelo original de Life, lo que implica rápidamente que la regla HighLife no cumple ninguna de las dos condiciones, dado que desde cualquier configuración aleatoria $c_{i}$ no se producen gliders de manera natural y no crece limitadamente.

Las demás definiciones mostradas a continuación están basadas para autómatas celulares en tres dimensiones y no pueden aplicarse a autómatas celulares de dos y una dimensión como se explica despues de la definición realizada por Bays.

Definición 4.1.2   Bays [2]

Una expanción de un objeto Life para construirlo en tres dimensiones, se obtiene haciendo copias de todas las células vivas $(x_{i},y_{i},0)$ en el plano adyacente $z$, es decir, en la terna $(x_{i},y_{i},1)$.

Un ejemplo bastante ilustrativo de la Definición 4.1.2 se puede realizar con el glider de cinco células que existe en Life Figura 3.4 y puede expanderse en tres dimensiones, haciendo copias de sus células vivas en el plano adyacente $z=1$ y poder evolucionarlo en el espacio tridimensional $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}$.

Figura 4.1: Expanciones de Life en tres dimensiones

Las copias se realizan únicamente en el eje $z=1$, la regla de evolución en tres dimensiones que evoluciona el glider de la Figura 4.1 es la regla semitotalística $R(5,7,6,6)$, por esa razón se pueden construir objetos análogos que existen en Life en la regla de evolución tridimensional $R(5,7,6,6)$.

Definición 4.1.3   Bays [2]

Una proyección de un objeto Life en dos dimensiones debe existir en tres dimensiones, si y solo si, ambas de las siguientes condiciones se cumplen:

1. Todas las células vivas $(x_{i},y_{i},z_{i})$ deben de estar en dos planos adyacentes. Por ejemplo sean los planos $z = 0$ y $z=1$.

2. La pareja de células $(x_{i},y_{i},0)$ y $(x_{i},y_{i},1)$ están ambas vivas o muertas.

La Definición 4.1.3 es recíproca de la Definición 4.1.2, en la Definición 4.1.3 la primera condición dice que si se tiene un objeto Life en tres dimensiones, tal objeto no puede ser reproducido en el espacio tridimensional tal como se puede reproducir en dos dimensiones si sus copias se realizan en planos que no sean adyacentes, como se ilustra en la Figura 4.2. La segunda condición dice que las células que se encuentran en los planos adyacentes deberán estar vivas o muertas para garantizar que el objeto pueda reproducirse sin ningún problema.

Nótese que estos planos adyacentes pueden estar en cualquier dirección, porque las estructuras que existen en Life son simétricas en el espacio bidimensional $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}$ y esta característica debe conservarse con sus objetos análogos en tres dimensiones en el espacio tridimensional $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}$.

Figura 4.2: Planos adyacentes en tres dimensiones

Bays presenta diversas reglas de evolución que cumplen algunas condiciones necesarias para que sean posibles sucesoras de Life en tres dimensiones, como las reglas $R(5767)$, $R(5777)$, $R(5566)$, $R(5755)$, $R(4656)$, $R(4655)$, $R(6767)$, $R(4567)$, $R(6766)$, $R(5655)$, $R(5877)$, $R(4666)$, $R(4566)$, $R(3455)$, $R(3566)$, entre otras.

Revisando el comportamiento de cada una de estas reglas en tres dimensiones realizadas por Bays hemos considerado analizar la regla $R(5,7,6,6)$, porque esta regla de evolución presenta muchas estructuras análogas a Life en el espacio tridimensional y la regla de evolución $R(4,5,5,5)$ porque muestra comportamientos similares a Life, pero esta regla de evolución produce sus propios gliders y sus propias estructuras fijas que no son análogas a Life o en dos dimensiones por otras reglas de evolución.