Analizando la $regla$ $110$

El polinomio del campo promedio para la regla 110 queda como:

$$p_{t+1}=2p_{t}q_{t}^{2}+3p_{t}^{2}q_{t}.$$ (5.3.1)

La regla 110 definida en la Tabla 5.1, se puede ver que existen dos vecindades con dos células en el estado 0 y una célula con el estado 1, por lo tanto $v=1$ y $n-v=2$. Existen tres vecindades con dos células en el estado 1 y una célula con el estado 0, por lo tanto $v=2$ y $n-v=1$.

Figura 5.10: Curva de probabilidad de la regla 110

En la Figura 5.10 se muestra la curva de probabilidad de la regla 110, observando que la curva tiene una alta probabilidad de generar 1's en su espacio de evoluciones. Nótese la existencia de un punto fijo estable en aproximadamente 0.61, ésto indica que se tendrán comportamientos de estados que mantienen una misma densidad en las siguientes generaciones, es decir, si se tiene un fondo periódico de puro ether y un glider evolucionando a través de ese fondo periódico, la cantidad de 0's y 1's es la misma conforme el glider se vaya desplazando.

Es importante notar que la curva de probabilidad de la regla 110 tiene su punto máximo en aproximadamente 0.56, lo que implica que la probabilidad de que exista el estado 1 es mas alta que la probabilidad de que exista el estado 0. Por otra parte veamos que en los extremos de la curva sobre el eje $q$, la curva muestra un levantamiento muy rápido y es porque la cantidad de 1's que se generan en un paso es muy rápido, por ejemplo si en nuestra configuración inicial $c_{i}$ únicamente ponemos una célula con el estado 1 y todas las demás células en el estado 0, veremos que cuando evolucionemos esa configuración tendremos que en cada generación crece en un factor doble, de acuerdo a cada generación $c_{i}$ será al doble en $c_{i+1}$ y $c_{i+1}$ será el doble en $c_{i+2}$ y así sucesivamente, hasta que el triángulo que se está formando encuentre el límite de la longitud del anillo y se equilibre la existencia de los estados. Además este fenómeno es idéntico cuando una célula en la configuración inicial tiene el estado 0 y todas las demás células tienen el estado 1, por eso es que la curva de probabilidad tiene esos crecimientos en ambos extremos.

Figura 5.11: Curva de probabilidad de la regla 110 segunda, tercera, cuarta y quinta generación

En la Figura 5.11 se muestran las curvas de probabilidad de la regla 110 en la segunda, tercera, cuarta y quinta generación. Se puede ver que la probabilidad de tener 1's en cada generación se sigue manteniendo alta y ésto se puede explicar desde la regla de evolución, donde se tienen 5 vecindades que se transforman al estado 1 y 3 vecindades que se transforman al estado 0. El punto fijo estable deja de existir ya que la derivada en el punto de intersección vale 0, además se mantiene en cada generación ampliando cada vez mas el rango de probabilidad en obtener 1's en la siguiente generación en el eje $x$. Finalmente se puede ver que sigue una distribución uniforme en su curva de probabilidad, también mantiene el punto fijo inalterable en cada generación al igual que Life, pero su diferencia está en el rango de la probabilidad que tienen los estados en particular del estado 1, ésto se debe por el ether que existe en la regla 110 y que no existe en Life, pero se puede ver que la regla 110 tiene algunas características probabilísticas similares a Life. Sin lugar a duda a pesar de tener algunas similitudes con Life, la regla 110 puede ser visto como un modelo original.