Autómata $(2,1/2)$ Regla $12$.

Tomemos nuevamente el caso de un auómata de 2 estados y un radio de vecindad $r=1/2$, cuya regla original $12$ es un corrimiento a la derecha y la regla inversa $10$ es por supuesto, un corrimiento a la izquierda, sabiendo que los indices de Welch tiene valores $L=1$ y $R=2$ para la regla $12$ y $L=2$ y $R=1$ para la regla $10$.

Tabla 4.13: Autómata $(2,1/2)$ regla $12$ y regla $10$

Regla 12

Regla 10

	0	1
0	0	0
1	1	1

	0	1
0	0	1
1	1	0

Formemos las posibles secuencias de tamaño $4r$, es decir, de $2$ estados y todos los ancestros de tamaño $6r$, o sea de $3$ estados, de cada secuencia.

Tabla 4.14: Secuencias de tamaño $2$ y sus ancestros

000 001 00

010 011 01

100 101 10

110 111 11

De las secuencias anteriores y sus ancestros, obtengamos los conjuntos $L_{12}$ y $R_{12}$.

Tabla 4.15: Conjuntos $L_{12}$ y $R_{12}$

$L_{12}=\left\{ \begin{array}{cc} \begin{array}{cccccc} \cline{1-4} \multicolum... ...multicolumn{4}{\vert c\vert}{1} \\ \cline{3-6} \end{array}\end{array}\right\}$

$R_{12}=\left\{ \begin{array}{cccc} \begin{array}{cccccc} \cline{3-6} \multicol... ...c\vert}{1}&\multicolumn{2}{c}{} \\ \cline{1-4} \end{array}\end{array}\right\}$

En ambos casos se cumple que $\vert L_{12}\vert=Lk^{2r}=2$ y $\vert R_{12}\vert=Rk^{2r}=4$.

Tomemos ahora los conjuntos $X=\{x_0,x_1\}$ y $y=\{y_0,y_1,y_2,y_3\}$, y especifiquemos los siguientes mapeos $b_L$ y $b_R$.

Tabla 4.16: Conjuntos $b_{L_{12}}$ y $b_{R_{12}}$

$\begin{array}{ccc} \mbox{\normalsize$b_L:$}& \begin{array}{cccccc} \cline{1-4}... ...lumn{4}{\vert c\vert}{1} \\ \cline{3-6} \end{array}\rightarrow x_1 \end{array}$

$\begin{array}{ccccc} \mbox{\normalsize$b_R:$}& \begin{array}{cccccc} \cline{3-... ...{1}&\multicolumn{2}{c}{} \\ \cline{1-4} \end{array}\rightarrow y_3 \end{array}$

Como $L_{12}=R_{10}$ y $R_{12}=L_{10}$, con estos elementos podemos formar entonces las permutaciones $\pi _1$ y $\pi _2$.

Tabla 4.17: Permutaciones $\pi _1$ y $\pi _2$ para la regla $12$

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert} \hline Bloque&&\p... ...ightarrow&y_3x_0\\ 111&\leftrightarrow&y_3x_1\\ \hline \end{array}\end{array}$

A partir de una configuración aleatoria inicial podemos ver una evolución típica de este autómata $(2,1/2)$.

Figura 4.17: Evolución de un autómata $(2,h)$ regla $12$

Tomemos la primera configuración y apliquemos la permutación $p_1$.

Figura 4.18: Permutación en bloque $p_1$ sobre la configuración inicial

Sobre esta nueva secuencia de la forma $(x_iy_j...x_my_n)$ usemos $p_2^{-1}$, es decir, hagamos un corrimiento de un elemento y apliquemos a cada pareja de la forma $y_ix_j$ la permutación $\pi _2$.

Figura 4.19: Permutación en bloque $p_2^{-1}$ después de $p_1$ con un corrimiento igual a $1$ equivalente a una longitud de $3r$

En este caso podemos concluir que la evolución obtenida anteriormente coincide con la construida haciendo dos permutaciones en bloque a la configuración inicial, es decir, el método funcionó como se esperaba en este ejemplo.