Autómata $(2,1)$ Regla $15$.

Este es el caso de un auómata de 2 estados y un radio de vecindad $r=1$, con la regla de evolución $15$ y la regla inversa $85$. Para la regla $15$ los indices de Welch tiene valores $L=1$ y $R=4$, para la regla $85$, $L=4$ y $R=1$ son los índices de Welch.

Tabla 4.18: Autómata $(2,1)$ regla $15$ y regla $85$

Regla 15

Regla 85

	00	01	10	11
00	1	1
01			1	1
10	0	0
11			0	0

	00	01	10	11
00	1	0
01			1	0
10	1	0
11			1	0

De manera análoga al primer ejemplo, se obtuvieron los conjuntos $L_{15}$ y $R_{15}$.

Tabla 4.19: $\vert L_{15}\vert=Lk^{2r}=4$ y $\vert R_{15}\vert=Rk^{2r}=16$

$L_{15}=\left\{ \begin{array}{cccc} \begin{array}{ccc} \cline{1-2} \multicolumn... ...}{0}&\multicolumn{1}{c\vert}{0} \\ \cline{2-3} \end{array}\end{array}\right\}$

$R_{15}=\left\{ \begin{array}{cccc} \begin{array}{ccc} \cline{2-3} \multicolumn... ...vert}{1}&\multicolumn{1}{c}{} \\ \cline{1-2} \end{array} \end{array}\right\}$

Cumpliéndose en ambos casos se cumple que

$$\begin{array}{c} \vert L_{15}\vert=Lk^{2r}=4 \\ y \\ \vert R_{15}\vert=Rk^{2r}=16 \end{array}$$

Tomemos ahora los conjuntos $X=\{x_0,...,x_3\}$ y $y=\{y_0,...,y_{15}\}$. Especificando los mapeos $b_L$ y $b_R$, los podemos ver con detalle en la siguiente tabla.

Tabla 4.20: Mapeos $b_{L_{15}}$ y $b_{R_{15}}$

$\begin{array}{\vert c\vert} \hline \\ \begin{array}{cccc} \begin{array}{ccc} ... ...cline{1-2} \end{array}\rightarrow y_{15} \end{array} \\ \\ \hline \end{array}$

Como $L_{15}=R_{85}$ y $R_{15}=L_{85}$, con estos elementos podemos formar entonces las permutaciones $\pi _1$ y $\pi _2$.

Tabla 4.21: Permutaciones $\pi _1$ y $\pi _2$ para la regla $15$

$\begin{array}{cccc} \begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert} \hline Bloque&&\... ...tarrow&y_3x_1\\ 111111&\leftrightarrow&y_3x_0\\ \hline \end{array}\end{array}$

A partir de una configuración aleatoria inicial, vamos a observar primero como evoluciona el autómata. Empezando desde el instante $t_0$ hasta llegar al instante $t_3$. Después tratemos de reproducir este resultado por medio de las permutaciones en bloque.

Figura 4.20: Evolución de un autómata $(2,1)$ con regla $15$, aplicando las permutaciones en bloque

Para este caso nuestra conclusión es que la evolución del autómata es idéntica a la construida aplicando las dos permutaciones en bloque a la configuración inicial.