Caso $(4,1/2)$, $L=1$, $R=4$

Para este caso se obtuvo el siguiente autómata.

Tabla 5.10: Autómata reversible $(4,1/2)$ regla original $FFAA5500$ y regla inversa $E4E4E4E4$

$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert} \cline{1-1} \cline{3-3} \mbox{Regla ... ...}{c\vert}{3}& 0&1&2&3 \\ \end{array} \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \end{array}$

Las permutaciones en bloque son las siguientes:

Tabla 5.11: Permutaciones $p_1$ y $p_2$ para el autómata $(4,1/2)$

$\begin{array}{cc} \begin{array}{\vert c\vert l\vert l\vert} \hline \mbox{Caden... ... x_3y_{15} & y_3x_2 \\ 333 & x_3y_3 & y_3x_3 \\ \hline \end{array}\end{array}$

Para reducir la forma en que escribiremos estas permutaciones, observemos la Figura 5.3; en cada una de las posiciones $(a_la_c)$ aparecerán los $k$ posibles estados teniendo en total $k^2$ instancias distintas, cada instancia posible se repite $k$ veces antes de pasar a la siguiente, y para las posiciones $(a_ca_r)$, las $k^2$ instancias aparecen en forma continua y esta sucesión se repite $k$ veces. Entonces, para las dos permutaciones apuntemos solo una vez la $x_i$ correspondiente a cada instancia $(a_la_c)$, y hagamos lo mismo para las $y_i$ de cada instancia $(a_ca_r)$.

Tabla 5.12: Representación abreviada de las permuatciones $p_1$ y $p_2$ del autómata $(4,1/2)$

$Lista_{X_{p_1}}:\{0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3\}$

$Lista_{Y_{p_1}}:\{0,4,8,12,5,1,9,13,6,10,2,14,7,11,15,3\}$

$Lista_{Y_{p_2}}:\{0,4,8,12,5,1,9,13,6,10,2,14,7,11,15,3,\}$

$Lista_{X_{p_2}}:\{0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3\}$

Con esto, para obtener la permutación $p_1$ tenemos:

1. De la tabla original tomemos el primer elemento de la lista de $X_{p_1}$ y repitámoslo $k$ veces.
2. Repitamos el paso anterior para el resto de la lista.
3. De nuevo desde el inicio de la tabla, pongamos la lista de $Y_{p_1}$ completa.
4. Repitamos el paso anterior $k-1$ veces.

Para obtener la permutación $p_2$ se hace el proceso análogo utilizando primero $Y_{p_2}$ y después $X_{p_2}$.

Los diagramas de Welch de este autómata son:

Figura 5.8: Diagramas de Welch del autómata reversible $(4,1/2)$ regla $FFAA5500$

El nodo del diagrama derecho tiene tantos elementos como $R=4$ y los nodos del diagrama izquierdo tienen tantos elementos como $L=1$, además de que la intersección del nodo derecho con cada uno de los nodos izquierdos es con un solo elemento.

Tomemos una configuración aleatoria y veamos como evoluciona con la regla de evolución original y aplicando las permutaciones en bloque.

Figura 5.9: Evolución del autómata celular reversible $(4,1/2)$ regla $FFAA5500$ aplicando $\phi$ y utilizando las permutaciones en bloque $p_1$ y $p_2$

Tal como se esperaba, hemos obtenido la misma evolución.