Observaciones Finales

El resultado de este capítulo es que el comportamiento reversible de un autómata celular lineal depende de como la regla de evolución trabaja de acuerdo a la forma en que lo hacen las dos permutaciones en bloque en las configuraciones. Estas permutaciones para ser válidas deben guardar un orden muy estricto, su comportamiento esta principalmente influenciado por los índices de Welch, como lo demuestran en las siguientes características:

• Secuencias de céulas de tamaño $6r$ similares tendrán permutaciones muy parecidas.
• La cardinalidad de los conjuntos $X$ y $Y$.
• La forma en que los elementos de $X$ y $Y$ se concatenan.

Al entender como funcionan estas permutaciones para el caso de autómatas con $(r=1/2)$ lo estamos haciendo para todos los casos, ya que con el primero se pueden simular los demás si no de forma elegante si de manera efectiva.

La relación entre las permutaciones $p_1$ y $p_2$ es muy sútil e inmediata, el determinar $p_1$ automáticamente determina también $p_2$ y visceversa ya que se construyen de los mismos bloques en $L_\phi$ y $R_\phi$, solo variando el papel en que los elementos de cada bloque funcionan, si como ancestros o como evolución; pero aun podemos ir mas allá; la asignación del conjutno $X$ a las distintas secuencias determina a su vez la asignación del conjunto $Y$, ya que para establecer la relación entre las secuencias y el conjunto $X$ debemos ver el estado de las células $a_l,a_c$ y $e_l$; es decir, como mínimo tenemos ya una vecindad completa y su evolución, lo que determina a $\phi$ completamente, y esto ya nos indica la forma que debemos posicionar al conjunto $Y$ con respecto a las secuencias.

Cada autómata reversible tendrá sus conjuntos $L_\phi$ y $R_\phi$ particulares y estos lo harán único del resto, la forma en se definan las biyecciones $b_L$ y $b_R$ son las que nos ofrecen distintas permutaciones para un mismo tipo de autómata, por ejemplo, tomemos un caso $(2,1/2)$ con $L=1$ y $R=2$:

Tabla 5.25: Autómata $(2,1/2)$ regla original $C$ y regla inversa $A$

$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert} \cline{1-1} \cline{3-3} \mbox{Regla ... ...column{1}{c\vert}{1}&0&1 \\ \end{array}\\ \cline{1-1} \cline{3-3} \end{array}$

Los elementos de $L_\phi$ y $R_\phi$ son los siguientes:

Tabla 5.26: Conjuntos $L_C$ y $R_C$

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{cc} L_C:& \left\{ \begin{array}{c} \begin{arr... ...{\framebox{1}} \\ \end{array} \\ \\ \end{array}\right. \end{array}\end{array}$

Hagamos ahora la siguiente asignación de las biyecciones $b_L$ y $b_R$:

Tabla 5.27: Mapeos $b_{L_C}$ y $b_{R_C}$

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{cc} L_C:& \left\{ \begin{array}{ccc} \begin{a... ...\ \end{array}&\rightarrow&y_3 \\ \\ \end{array}\right. \end{array}\end{array}$

Con esto, las permutaciones $p_1$ y $p_2$ son las siguientes:

Tabla 5.28: Permutaciones $p_1$ y $p_2$ del autómata $(2,1/2)$

$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert} \hline \mbox{Secuencia}&p_1&p_2 \\ ... ..._1y_2&y_1x_1 \\ 110&x_1y_1&y_3x_0 \\ 111&x_1y_3&y_3x_1 \\ \hline \end{array}$

Tomando una configuración aleatoria, una evolución seía de la siguiente forma:

Figura 5.22: Autómata $(2,1/2)$ regla $C$

Y aplicando las permutaciones tenemos:

Figura 5.23: Evolución del autómata $(2,1/2)$ con permutaciones en bloque

Ahora bien, hagamos y nueva asignación entre $L_\phi$ y $X$.

Tabla 5.29: Nuevo mapeo $b_{L_C}$

$\begin{array}{c} \begin{array}{cc} L_C:& \left\{ \begin{array}{ccc} \begin{arr... ...\ \end{array}&\rightarrow&x_0 \\ \\ \end{array}\right. \end{array}\end{array}$

Esto nos lleva a las siguientes permutaciones $p_1$ y $p_2$.

Tabla 5.30: Nuevas permutaciones $p_1$ y $p_2$ del autómata $(2,1/2)$

$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert} \hline \mbox{Secuencia}&p_1&p_2 \\ ... ..._0y_2&y_1x_0 \\ 110&x_0y_1&y_3x_1 \\ 111&x_0y_3&y_3x_0 \\ \hline \end{array}$

Volviendo aplicar estas permutaciones sobre la misma configuración inicial de la Figura 5.23, obtenemos:

Figura 5.24: Evolución del autómata $(2,1/2)$ con distintas permutaciones en bloque

Se ha llegado a obtener el mismo resultado que con las permutaciones anteriores, en síntesis, obtendremos tantas permutaciones repetidas como asignaciones distintas podamos hacer de $b_L$ y $b_R$, dado que $\mid X \mid =Lk$ y $\mid Y \mid = Rk$, existe tantas asignaciones posibles para $b_L$ como $Lk!$ y tantas para $b_R$ como $Rk!$, entonces para dos conjuntos $L_\phi$ y $R_\phi$ dados, tendremos tantas asignaciones distintas a $XY$ y $YX$ como $((Lk)!*(Rk)!)$.

Cada autómta reversible tiene conjuntos propios $L_\phi$ y $R_\phi$ que a su vez se pueden renombrar de $((Lk)!*(Rk)!)$ maneras por las biyecciones $b_L$ y $b_R$ para obtener el mismo número de permutaciones distintas que especifiquen el mismo autómata.