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Capítulo I

El caso de la cadena diatómica cuando es cíclica (también se le conoce como anillo diatómico), es muy especial ya que las condiciones a la frontera son, unir mediante un resorte las partículas de los extremos, por lo tanto su estudio se hizo por separado.

Se sabe por (4) que cuando el anillo es homogeneo el número de frecuencias permitidas es $N/2$, ya que no es posible que existan modos normales con un número par de nodos, es decir con un número impar de medias longitudes de onda, como se ve en la siguiente figura. En donde se muestran dos circunferencias, una con un número par de medias longitudes de onda y la otra con un número impar.

Ya que el caso impar presenta una discontinuidad que le impide la existencia de un nodo estacionario en ese punto, por lo que bajo esa condición no es posible tener un modo normal, resultando entonces que los modos normales de vibración serán degenerados por parejas.

Otra propiedad que existe en la solución del anillo homogeneo, es que la relación de dispersión, se puede representar por una serie de senos y cosenos siendo esta una serie de Fourier, por lo tanto desde el punto de vista ondulatorio el movimiento será de tipo oscilatorio, ya que la amplitud de las partículas no puede aumentar ni disminuir, por que no hay aumento de energía ni disminución por rozamiento. Además cuando empezamos un determinado ciclo, la amplitud debe ser igual al terminar ese ciclo, debido a la periodicidad que sabemos que se cumple, entonces el único movimiento posible es el oscilatorio. En este capítulo estamos interesados en conocer cuál será el comportamiento cuando el anillo es diatómico, por lo que las condiciones a la frontera se les conoce como condiciones de Born-Karman, esto es:

Gráficamente podemos representar a la cadena diatómica cíclica por la si-guiente figura:

Figura I-1

Para encontrar el comportamiento de este caso se diagonalizará la matriz de movimiento $A$, cuya forma es:

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$$A = \left [\begin{array}{ccccccccccc} \frac{A_{0}}{m} & \f... ...rac{A_{1}}{\sqrt{mM}} & \frac{A_{0}}{M} \end{array} \right ]$$ (I-1 )

Para diagonalizar a la matriz $A$, hubo necesidad de escoger otro método, ya que el método de Givens no se adapta en la solución que se quiere debido a la estructura que ahora tiene la matriz $A$.

Entonces el método que se escogió fue el Jacobi, pues en la práctica resulta ser el más seguro, aunque utiliza mucho tiempo de computadora. Este método está desarrollado en la subrutina PENJA cuyo listado esta en el apéndice E junto con el programa principal PENTA, ya modificado para este caso particular.

La gráfica (I-1) nos muestra el espectro de frecuencias permitidas por el sistema, en donde con la letra D denotamos que dos frecuencias resultan ser iguales, implicando así que los dos modos normales correspondientes son degenerados.

Observando esta gráfica vemos que el comportamiento del anillo diatómico es muy especial, ya que las frecuencias del espectro se dividen de la siguiente manera: La frecuencia alta, dos frecuencias libres, dos degeneraciones y la frecuencia baja que siempre es cero.

Además se puede ver que las dos degeneraciones, se van cambiando entre las frecuencias del centro.

La gráfica (I-2) nos muestra a los modos normales, en donde las discontinuidades, son reflejo de los cruzamientos y del cambio de las dos degeneraciones en las frecuencias del espectro.

Los números de onda están definidos en la región 2, lo cual implica que el movimiento de la cadena será oscilatorio, esto se debe a la simetría del modelo.

Por lo tanto la diferencia mas importante, entre la cadena cíclica y la cadena líneal es que, el comportamiento exponencial de los números de onda correspondientes a las frecuencias de la rama óptica de la cadena líneal, se suprime en la cadena cíclica debido a la simetría, existiendo dos degeneraciones.

Grafica I-1

Espectro de frecuencias de la cadena diatómica cíclica de ocho partículas, cuya estructura es ls siguiente; una frecuencia alta, dos frecuencias libres, una frecuencia baja que siempre es cero y lo más importante son las dos degeneraciones. Que están denotadas por la letra D.

Grafica I-2

Estas gráficas también estan definidas en la región compleja, y en la región donde hay inversiones de fase es decir donde $\varphi$ es de la forma $\varphi = \alpha + i \pi$

Grafica III-3

Se puede ver que las gráficas de los números de onda están definidos en la región compleja.

Como se puede apreciar los modos normales de vibración tienen muchas discontinuidades en su gráficas

Estas gráficas también estan definidas en la región compleja, y en la región donde hay inversiones de fase es decir donde $\varphi$ es de la forma $\varphi \alpha + i \pi$

Aqui se observan menos discontinuidades que en los modos anteriores debido a que las frecuencias 5 y 6 no tienen muchos cruzamientos

El modo normal 7 presenta muchas discontinuidades, esto se debe a que la frecuencia 7 resulta ser degenerada con la frecuencia 6 como se puede ver en la gráfica (I-1).

La gráfica de los números de onda que corresponden ala frecuencia 8 es una recta esto se debe a que la frecuencia siempre es cero, además el modo normal 8 no tiene puntos nodales.