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Capítulo II

Para finalizar este trabajo, es conveniente mostrar gráficamente la transición entre la cadena diatómica líneal y la cadena diatómica cíclica, en el punto de convergencia de la rama óptica.

Por tal motivo el parámetro que ahora consideramos será un factor que multiplique a la constante de resorte que unen a la primera partícula con la última, ya que cuando este parámetro sea igual a cero es el caso de la cadena líneal, y cuando sea igual a uno es el caso de la cadena cíclica. Entonces la variación de este parámetro será entre cero y uno por medio de incrementos F igual a 0.025, esquemáticamente tenemos:

FIGURA 2

Siendo la matriz de movimiento para este caso de la siguiente forma:

1pt

$$A\!=\!\left [\begin{array}{ccccccccccc} \frac{-(\varepsilo... ...c{(1 + \varepsilon) (A_{1} + A_{2})}{M} \end{array} \right]$$ (II-1 )

La gráfica ( II-1) nos muestra el espectro de frecuencias para este caso, en donde se puede observar la transición entre la cadena líneal y la cadena cíclica, ya que al principio de la gráfica se ve que todas las frecuencias son libres, y la forma en que se van uniendo, hasta el momento en que aparecen las dos degeneraciones correspondientes a la cadena cíclica, que se pueden ver al final de esta gráfica.

Por razones de estética se varió el orden de las partículas, al graficar los modos normales de vibración, ya que nos interesa ver la amplitud en los extremos, por lo tanto las partículas inicial y final son ahora las del centro. En donde se puede observar la mayor amplitud al principio de las gráficas

Una manera de comprobar la transición, es ver las gráficas de los números de onda correspondientes, en donde se observa que el último punto de la cuarta subgráfica, esta definido en la región donde no es exponencial, que es el caso cuando la cadena se ha cerrado por completo. Ver la gráfica (II-2). Y todas las demás gráficas de los números de onda están definidas en la región donde $\varphi = \alpha + i \pi$.

Gráfica (II-1)

Espectro de frecuencias cuando se hace la transición de la cadena diatómica lineal a la cadena diatómica cíclica. Es interesante observar como al principio de la gráfica todas las frecuencias son libres ya que el caso cuando la cadena lineal y como al final de la gráfica ocurren las dos degeneraciones correspondientes a la cadena cíclica.

Por razones de estetica en todas estas gráficas se cambio el orden de las partículas, ya que ahora las partículas del centro son la 1 y 8.

Los números de onda correspondientes estan definidos en la región compleja, como era de esperarse pues el único movimiento posible es oscilatorio.

Lo interesante de esta gráfica es que el último punto está en la región compleja, como era de esperarse ya que es el caso de la cadena cíclica.

Los modos normales tienen mayor amplitud cuando corresponden a la cadena lineal que cuando corresponden a la cadena cíclica.