Relación de dispersión

Ahora bién al analizar el movimiento del modelo de la cadena diatómica, las frecuencias temporal $\lambda$ y espacial $\mu$ van a variar, por lo que la velocidad de las ondas va a estar dada por el cociente de la frecuencia temporal $\lambda$ y la frecuencia espacial $\mu$, lo cual nos servirá para interpretar mejor los resultados que se obtengan.

Por lo tanto se define como relación de disperión a cualquier función que relacione a estas dos frecuencias, siendo esta una forma de caracterizar el movimiento de la cadena, ya que si la relación de dispersión es constante entonces las ondas que representan el movimiento de la cadena no sufrirán distorsión en su forma, en presencia de un tren de ondas; es decir no dependen de la longitud de onda. Recíprocamente cuando la relación de dispersión no es constante entonces las ondas si serán distorsionadas en su forma, es decir dependen de la longitud de onda.

Una relación de dispersión para el modelo de la cadena diatómica se puede obtener al encontrar los eigenvalores $\mu$ de la matriz de recurrencia $T_{d}$ esto es:

$$\left [ \begin{array}{cccc} K^{2} - \varepsilon \rho + 2(... ... 1 & 0 & -\mu & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\mu \end{array} \right ]$$

resultando.

$$- \mu K^{2} (\varepsilon \rho + 2K + 3) - (K^{2} - 1) + \mu^{2} (K^{2} - 1)(\varepsilon \rho + 2K + 2 - \mu) + K^{2} -$$

$$- \mu [-\mu (K^{2} + \varepsilon / \rho + 2 (K + 1) - \mu) (\varepsilon \rho + 2K + 2 - \mu) - K^{2} +$$

$$+ (K^{2} + \varepsilon / \rho + 2(K + 1) - \mu) + \mu^{2} K^{2} (\varepsilon \rho + 2K + 3)] = 0$$

Agrupando y reduciendo obtenemos finalmente la relación de dispersión que relaciona a $\mu$ y $\varepsilon$ ( donde $\varepsilon$ se definió en función de $\lambda$) esto es:

$$\mu^{4} - \mu^{3} [K^{2} + \varepsilon (\rho + 1 / \rho) + 4(K + 1)] + \mu^{2} [4(K + 1)^{2} - 2K^{2} + 2 +$$

$$+ 2(K + 1) \varepsilon (\rho + 1 / \rho) + \varepsilon^{2}] - \mu [K^{2} + \varepsilon (\rho + 1 / \rho) + 4(K + 1)] + 1 = 0$$ (I-14 )

la cual nos da los números de onda de la cadena diatómica que después utilizaremos para comprobar el comportamiento que se observe.

Segunda Parte

Modelo de la cadena diatómica
con diferentes condiciones a la frontera